Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15315 / 10219
↖ ↑ ↗
← N 55.906115°
W 11.744385°		 ← 684.75 m → N 55.906115°
W 11.733399°		 →
↑
684.82 m
↓
↑
684.82 m
↓
N 55.899956°
W 11.744385°		 ← 684.86 m →
468 970 m²		 N 55.899956°
W 11.733399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467391967773438 y=0.311874389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467391967773438 × 215)
    floor (0.467391967773438 × 32768)
    floor (15315.5)     		tx = 15315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311874389648438 × 215)
    floor (0.311874389648438 × 32768)
    floor (10219.5)     		ty = 10219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15315 / 10219 ti = "15/15315/10219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15315/10219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15315 ÷ 215
    15315 ÷ 32768     		x = 0.467376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10219 ÷ 215
    10219 ÷ 32768     		y = 0.311859130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.06524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20497818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311859130859375 × 2 - 1) × π
    0.37628173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18212394463058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20497818} λ = -0.20497818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18212394463058))-π/2
    2×atan(3.2612936591736)-π/2
    2×1.27327105298927-π/2
    2.54654210597854-1.57079632675     		φ = 0.97574578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20497818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.744385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97574578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.906115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15315 KachelY 10219 -0.20497818 0.97574578 -11.744385 55.906115
    Oben rechts KachelX + 1 15316 KachelY 10219 -0.20478644 0.97574578 -11.733399 55.906115
    Unten links KachelX 15315 KachelY + 1 10220 -0.20497818 0.97563829 -11.744385 55.899956
    Unten rechts KachelX + 1 15316 KachelY + 1 10220 -0.20478644 0.97563829 -11.733399 55.899956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97574578-0.97563829) × R
    0.000107489999999988 × 6371000     		dl = 684.818789999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97574578-0.97563829) × R
    0.000107489999999988 × 6371000     		dr = 684.818789999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20497818--0.20478644) × cos(0.97574578) × R
    0.000191740000000024 × 0.560550614034997 × 6371000     		do = 684.754919037218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20497818--0.20478644) × cos(0.97563829) × R
    0.000191740000000024 × 0.560639625433125 × 6371000     		du = 684.863653183952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97574578)-sin(0.97563829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560550614034997-0.560639625433125)×R²
    abs(-0.20478644--0.20497818)×8.90113981280027e-05×R²
    0.000191740000000024×8.90113981280027e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.90113981280027e-05×40589641000000     		ar = 468970.267146341m²