Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15314 / 10220
↖ ↑ ↗
← N 55.899956°
W 11.755371°		 ← 684.90 m → N 55.899956°
W 11.744385°		 →
↑
684.95 m
↓
↑
684.95 m
↓
N 55.893796°
W 11.755371°		 ← 685.01 m →
469 156 m²		 N 55.893796°
W 11.744385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467361450195312 y=0.311904907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467361450195312 × 215)
    floor (0.467361450195312 × 32768)
    floor (15314.5)     		tx = 15314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311904907226562 × 215)
    floor (0.311904907226562 × 32768)
    floor (10220.5)     		ty = 10220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15314 / 10220 ti = "15/15314/10220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15314/10220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15314 ÷ 215
    15314 ÷ 32768     		x = 0.46734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10220 ÷ 215
    10220 ÷ 32768     		y = 0.3118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.0653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20516993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3118896484375 × 2 - 1) × π
    0.376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1819321970321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20516993} λ = -0.20516993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1819321970321))-π/2
    2×atan(3.26066837389691)-π/2
    2×1.27321730660519-π/2
    2.54643461321038-1.57079632675     		φ = 0.97563829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20516993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.755371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97563829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.899956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15314 KachelY 10220 -0.20516993 0.97563829 -11.755371 55.899956
    Oben rechts KachelX + 1 15315 KachelY 10220 -0.20497818 0.97563829 -11.744385 55.899956
    Unten links KachelX 15314 KachelY + 1 10221 -0.20516993 0.97553078 -11.755371 55.893796
    Unten rechts KachelX + 1 15315 KachelY + 1 10221 -0.20497818 0.97553078 -11.744385 55.893796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97563829-0.97553078) × R
    0.000107509999999977 × 6371000     		dl = 684.946209999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97563829-0.97553078) × R
    0.000107509999999977 × 6371000     		dr = 684.946209999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20516993--0.20497818) × cos(0.97563829) × R
    0.000191749999999991 × 0.560639625433125 × 6371000     		do = 684.89937153437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20516993--0.20497818) × cos(0.97553078) × R
    0.000191749999999991 × 0.56072864691356 × 6371000     		du = 685.008123668962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97563829)-sin(0.97553078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560639625433125-0.56072864691356)×R²
    abs(-0.20497818--0.20516993)×8.90214804343259e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90214804343259e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90214804343259e-05×40589641000000     		ar = 469156.473896944m²