Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15312 / 21360
↖ ↑ ↗
← N 76.279122°
W137.944336°		 ← 72.44 m → N 76.279122°
W137.941589°		 →
↑
72.44 m
↓
↑
72.44 m
↓
N 76.278471°
W137.944336°		 ← 72.45 m →
5 248 m²		 N 76.278471°
W137.941589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116825103759766 y=0.162967681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116825103759766 × 217)
    floor (0.116825103759766 × 131072)
    floor (15312.5)     		tx = 15312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162967681884766 × 217)
    floor (0.162967681884766 × 131072)
    floor (21360.5)     		ty = 21360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15312 / 21360 ti = "17/15312/21360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15312/21360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15312 ÷ 217
    15312 ÷ 131072     		x = 0.1168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21360 ÷ 217
    21360 ÷ 131072     		y = 0.1629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40758285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1629638671875 × 2 - 1) × π
    0.674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1176604776156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40758285} λ = -2.40758285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1176604776156))-π/2
    2×atan(8.31166938695613)-π/2
    2×1.4510590782649-π/2
    2.90211815652979-1.57079632675     		φ = 1.33132183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40758285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33132183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.279122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15312 KachelY 21360 -2.40758285 1.33132183 -137.944336 76.279122
    Oben rechts KachelX + 1 15313 KachelY 21360 -2.40753491 1.33132183 -137.941589 76.279122
    Unten links KachelX 15312 KachelY + 1 21361 -2.40758285 1.33131046 -137.944336 76.278471
    Unten rechts KachelX + 1 15313 KachelY + 1 21361 -2.40753491 1.33131046 -137.941589 76.278471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33132183-1.33131046) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dl = 72.4382699997135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33132183-1.33131046) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dr = 72.4382699997135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40758285--2.40753491) × cos(1.33132183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237192152410385 × 6371000     		do = 72.4445886720871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40758285--2.40753491) × cos(1.33131046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237203197926569 × 6371000     		du = 72.4479622570412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33132183)-sin(1.33131046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237192152410385-0.237203197926569)×R²
    abs(-2.40753491--2.40758285)×1.10455161834722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10455161834722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10455161834722e-05×40589641000000     		ar = 5247.882862693m²