Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15312 / 19156
↖ ↑ ↗
← S 29.113775°
W 11.777344°		 ← 1 067.29 m → S 29.113775°
W 11.766358°		 →
↑
1 067.21 m
↓
↑
1 067.21 m
↓
S 29.123373°
W 11.777344°		 ← 1 067.19 m →
1 138 967 m²		 S 29.123373°
W 11.766358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467300415039062 y=0.584609985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467300415039062 × 215)
    floor (0.467300415039062 × 32768)
    floor (15312.5)     		tx = 15312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584609985351562 × 215)
    floor (0.584609985351562 × 32768)
    floor (19156.5)     		ty = 19156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15312 / 19156 ti = "15/15312/19156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15312/19156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15312 ÷ 215
    15312 ÷ 32768     		x = 0.46728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19156 ÷ 215
    19156 ÷ 32768     		y = 0.5845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5845947265625 × 2 - 1) × π
    -0.169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531524342987183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20555343} λ = -0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531524342987183))-π/2
    2×atan(0.587708417320859)-π/2
    2×0.531332544238655-π/2
    1.06266508847731-1.57079632675     		φ = -0.50813124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50813124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.113775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15312 KachelY 19156 -0.20555343 -0.50813124 -11.777344 -29.113775
    Oben rechts KachelX + 1 15313 KachelY 19156 -0.20536168 -0.50813124 -11.766358 -29.113775
    Unten links KachelX 15312 KachelY + 1 19157 -0.20555343 -0.50829875 -11.777344 -29.123373
    Unten rechts KachelX + 1 15313 KachelY + 1 19157 -0.20536168 -0.50829875 -11.766358 -29.123373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50813124--0.50829875) × R
    0.000167510000000037 × 6371000     		dl = 1067.20621000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50813124--0.50829875) × R
    0.000167510000000037 × 6371000     		dr = 1067.20621000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20555343--0.20536168) × cos(-0.50813124) × R
    0.000191750000000018 × 0.873655269300004 × 6371000     		do = 1067.29156794631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20555343--0.20536168) × cos(-0.50829875) × R
    0.000191750000000018 × 0.87357375581562 × 6371000     		du = 1067.19198787438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50813124)-sin(-0.50829875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873655269300004-0.87357375581562)×R²
    abs(-0.20536168--0.20555343)×8.15134843838994e-05×R²
    0.000191750000000018×8.15134843838994e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.15134843838994e-05×40589641000000     		ar = 1138967.05562107m²