Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15312 / 10318
↖ ↑ ↗
← N 55.291629°
W 11.777344°		 ← 695.60 m → N 55.291629°
W 11.766358°		 →
↑
695.65 m
↓
↑
695.65 m
↓
N 55.285373°
W 11.777344°		 ← 695.71 m →
483 933 m²		 N 55.285373°
W 11.766358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467300415039062 y=0.314895629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467300415039062 × 215)
    floor (0.467300415039062 × 32768)
    floor (15312.5)     		tx = 15312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314895629882812 × 215)
    floor (0.314895629882812 × 32768)
    floor (10318.5)     		ty = 10318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15312 / 10318 ti = "15/15312/10318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15312/10318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15312 ÷ 215
    15312 ÷ 32768     		x = 0.46728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10318 ÷ 215
    10318 ÷ 32768     		y = 0.31488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31488037109375 × 2 - 1) × π
    0.3702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16314093238104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20555343} λ = -0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16314093238104))-π/2
    2×atan(3.19996839239726)-π/2
    2×1.26790864633032-π/2
    2.53581729266064-1.57079632675     		φ = 0.96502097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96502097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.291629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15312 KachelY 10318 -0.20555343 0.96502097 -11.777344 55.291629
    Oben rechts KachelX + 1 15313 KachelY 10318 -0.20536168 0.96502097 -11.766358 55.291629
    Unten links KachelX 15312 KachelY + 1 10319 -0.20555343 0.96491178 -11.777344 55.285373
    Unten rechts KachelX + 1 15313 KachelY + 1 10319 -0.20536168 0.96491178 -11.766358 55.285373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96502097-0.96491178) × R
    0.000109189999999981 × 6371000     		dl = 695.649489999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96502097-0.96491178) × R
    0.000109189999999981 × 6371000     		dr = 695.649489999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20555343--0.20536168) × cos(0.96502097) × R
    0.000191750000000018 × 0.569399637821557 × 6371000     		do = 695.600946498665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20555343--0.20536168) × cos(0.96491178) × R
    0.000191750000000018 × 0.569489395252023 × 6371000     		du = 695.710597698701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96502097)-sin(0.96491178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569399637821557-0.569489395252023)×R²
    abs(-0.20536168--0.20555343)×8.97574304654647e-05×R²
    0.000191750000000018×8.97574304654647e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.97574304654647e-05×40589641000000     		ar = 483932.58355636m²