Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15310 / 10211
↖ ↑ ↗
← N 55.955351°
W 11.799316°		 ← 683.92 m → N 55.955351°
W 11.788330°		 →
↑
683.99 m
↓
↑
683.99 m
↓
N 55.949200°
W 11.799316°		 ← 684.03 m →
467 833 m²		 N 55.949200°
W 11.788330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467239379882812 y=0.311630249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467239379882812 × 215)
    floor (0.467239379882812 × 32768)
    floor (15310.5)     		tx = 15310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311630249023438 × 215)
    floor (0.311630249023438 × 32768)
    floor (10211.5)     		ty = 10211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15310 / 10211 ti = "15/15310/10211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15310/10211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15310 ÷ 215
    15310 ÷ 32768     		x = 0.46722412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10211 ÷ 215
    10211 ÷ 32768     		y = 0.311614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20593692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311614990234375 × 2 - 1) × π
    0.37677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18365792541843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20593692} λ = -0.20593692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18365792541843))-π/2
    2×atan(3.26630026002329)-π/2
    2×1.27370071690992-π/2
    2.54740143381984-1.57079632675     		φ = 0.97660511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20593692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.799316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97660511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.955351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15310 KachelY 10211 -0.20593692 0.97660511 -11.799316 55.955351
    Oben rechts KachelX + 1 15311 KachelY 10211 -0.20574517 0.97660511 -11.788330 55.955351
    Unten links KachelX 15310 KachelY + 1 10212 -0.20593692 0.97649775 -11.799316 55.949200
    Unten rechts KachelX + 1 15311 KachelY + 1 10212 -0.20574517 0.97649775 -11.788330 55.949200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97660511-0.97649775) × R
    0.000107360000000001 × 6371000     		dl = 683.990560000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97660511-0.97649775) × R
    0.000107360000000001 × 6371000     		dr = 683.990560000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20593692--0.20574517) × cos(0.97660511) × R
    0.000191749999999991 × 0.559838778651711 × 6371000     		do = 683.921025672958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20593692--0.20574517) × cos(0.97649775) × R
    0.000191749999999991 × 0.559927734088408 × 6371000     		du = 684.029697125929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97660511)-sin(0.97649775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559838778651711-0.559927734088408)×R²
    abs(-0.20574517--0.20593692)×8.89554366975132e-05×R²
    0.000191749999999991×8.89554366975132e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.89554366975132e-05×40589641000000     		ar = 467832.690918885m²