Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1531 / 1580
↖ ↑ ↗
← S 69.411243°
E 89.121094°		 ← 6 873.50 m → S 69.411243°
E 89.296875°		 →
↑
6 863.61 m
↓
↑
6 863.61 m
↓
S 69.472968°
E 89.121094°		 ← 6 853.78 m →
47 109 317 m²		 S 69.472968°
E 89.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747802734375 y=0.771728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747802734375 × 211)
    floor (0.747802734375 × 2048)
    floor (1531.5)     		tx = 1531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771728515625 × 211)
    floor (0.771728515625 × 2048)
    floor (1580.5)     		ty = 1580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1531 / 1580 ti = "11/1531/1580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1531/1580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1531 ÷ 211
    1531 ÷ 2048     		x = 0.74755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1580 ÷ 211
    1580 ÷ 2048     		y = 0.771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74755859375 × 2 - 1) × π
    0.4951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55545652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55545652} λ = 1.55545652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70578663608008))-π/2
    2×atan(0.181629453683338)-π/2
    2×0.179670804891561-π/2
    0.359341609783121-1.57079632675     		φ = -1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55545652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1531 KachelY 1580 1.55545652 -1.21145472 89.121094 -69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 1532 KachelY 1580 1.55852448 -1.21145472 89.296875 -69.411243
    Unten links KachelX 1531 KachelY + 1 1581 1.55545652 -1.21253204 89.121094 -69.472968
    Unten rechts KachelX + 1 1532 KachelY + 1 1581 1.55852448 -1.21253204 89.296875 -69.472968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21145472--1.21253204) × R
    0.00107731999999983 × 6371000     		dl = 6863.60571999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21145472--1.21253204) × R
    0.00107731999999983 × 6371000     		dr = 6863.60571999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55545652-1.55852448) × cos(-1.21145472) × R
    0.00306796000000009 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 6873.49722079921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55545652-1.55852448) × cos(-1.21253204) × R
    0.00306796000000009 × 0.350649254967064 × 6371000     		du = 6853.78092616044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21145472)-sin(-1.21253204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.350649254967064)×R²
    abs(1.55852448-1.55545652)×0.0010087138909573×R²
    0.00306796000000009×0.0010087138909573×6371000²
    0.00306796000000009×0.0010087138909573×40589641000000     		ar = 47109316.9610697m²