Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15308 / 8630
↖ ↑ ↗
← N 64.520097°
W 11.821289°		 ← 525.54 m → N 64.520097°
W 11.810303°		 →
↑
525.54 m
↓
↑
525.54 m
↓
N 64.515371°
W 11.821289°		 ← 525.63 m →
276 219 m²		 N 64.515371°
W 11.810303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467178344726562 y=0.263381958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467178344726562 × 215)
    floor (0.467178344726562 × 32768)
    floor (15308.5)     		tx = 15308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263381958007812 × 215)
    floor (0.263381958007812 × 32768)
    floor (8630.5)     		ty = 8630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15308 / 8630 ti = "15/15308/8630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15308/8630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15308 ÷ 215
    15308 ÷ 32768     		x = 0.4671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8630 ÷ 215
    8630 ÷ 32768     		y = 0.26336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20632042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26336669921875 × 2 - 1) × π
    0.4732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48681087861566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20632042} λ = -0.20632042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48681087861566))-π/2
    2×atan(4.42296762256196)-π/2
    2×1.34844222936021-π/2
    2.69688445872042-1.57079632675     		φ = 1.12608813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20632042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.821289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12608813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.520097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15308 KachelY 8630 -0.20632042 1.12608813 -11.821289 64.520097
    Oben rechts KachelX + 1 15309 KachelY 8630 -0.20612867 1.12608813 -11.810303 64.520097
    Unten links KachelX 15308 KachelY + 1 8631 -0.20632042 1.12600564 -11.821289 64.515371
    Unten rechts KachelX + 1 15309 KachelY + 1 8631 -0.20612867 1.12600564 -11.810303 64.515371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12608813-1.12600564) × R
    8.24900000000461e-05 × 6371000     		dl = 525.543790000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12608813-1.12600564) × R
    8.24900000000461e-05 × 6371000     		dr = 525.543790000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20632042--0.20612867) × cos(1.12608813) × R
    0.000191749999999991 × 0.430194477292971 × 6371000     		do = 525.542458594301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20632042--0.20612867) × cos(1.12600564) × R
    0.000191749999999991 × 0.43026894254134 × 6371000     		du = 525.633428264469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12608813)-sin(1.12600564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430194477292971-0.43026894254134)×R²
    abs(-0.20612867--0.20632042)×7.4465248368849e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4465248368849e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4465248368849e-05×40589641000000     		ar = 276219.479925018m²