Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15308 / 8596
↖ ↑ ↗
← N 64.680318°
W 11.821289°		 ← 522.46 m → N 64.680318°
W 11.810303°		 →
↑
522.49 m
↓
↑
522.49 m
↓
N 64.675619°
W 11.821289°		 ← 522.55 m →
273 000 m²		 N 64.675619°
W 11.810303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467178344726562 y=0.262344360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467178344726562 × 215)
    floor (0.467178344726562 × 32768)
    floor (15308.5)     		tx = 15308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262344360351562 × 215)
    floor (0.262344360351562 × 32768)
    floor (8596.5)     		ty = 8596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15308 / 8596 ti = "15/15308/8596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15308/8596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15308 ÷ 215
    15308 ÷ 32768     		x = 0.4671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8596 ÷ 215
    8596 ÷ 32768     		y = 0.2623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20632042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2623291015625 × 2 - 1) × π
    0.475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49333029696399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20632042} λ = -0.20632042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49333029696399))-π/2
    2×atan(4.45189699771923)-π/2
    2×1.34984041798244-π/2
    2.69968083596488-1.57079632675     		φ = 1.12888451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20632042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.821289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12888451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.680318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15308 KachelY 8596 -0.20632042 1.12888451 -11.821289 64.680318
    Oben rechts KachelX + 1 15309 KachelY 8596 -0.20612867 1.12888451 -11.810303 64.680318
    Unten links KachelX 15308 KachelY + 1 8597 -0.20632042 1.12880250 -11.821289 64.675619
    Unten rechts KachelX + 1 15309 KachelY + 1 8597 -0.20612867 1.12880250 -11.810303 64.675619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12888451-1.12880250) × R
    8.20100000000767e-05 × 6371000     		dl = 522.485710000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12888451-1.12880250) × R
    8.20100000000767e-05 × 6371000     		dr = 522.485710000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20632042--0.20612867) × cos(1.12888451) × R
    0.000191749999999991 × 0.427668405023864 × 6371000     		do = 522.456509562024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20632042--0.20612867) × cos(1.12880250) × R
    0.000191749999999991 × 0.427742535351713 × 6371000     		du = 522.54707008014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12888451)-sin(1.12880250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427668405023864-0.427742535351713)×R²
    abs(-0.20612867--0.20632042)×7.41303278493088e-05×R²
    0.000191749999999991×7.41303278493088e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.41303278493088e-05×40589641000000     		ar = 272999.718784316m²