Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15308 / 21308
↖ ↑ ↗
← N 76.312957°
W137.955322°		 ← 72.25 m → N 76.312957°
W137.952576°		 →
↑
72.31 m
↓
↑
72.31 m
↓
N 76.312307°
W137.955322°		 ← 72.26 m →
5 225 m²		 N 76.312307°
W137.952576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116794586181641 y=0.162570953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116794586181641 × 217)
    floor (0.116794586181641 × 131072)
    floor (15308.5)     		tx = 15308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162570953369141 × 217)
    floor (0.162570953369141 × 131072)
    floor (21308.5)     		ty = 21308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15308 / 21308 ti = "17/15308/21308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15308/21308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15308 ÷ 217
    15308 ÷ 131072     		x = 0.116790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21308 ÷ 217
    21308 ÷ 131072     		y = 0.162567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.76641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.40777459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162567138671875 × 2 - 1) × π
    0.67486572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12015319639584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40777459} λ = -2.40777459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12015319639584))-π/2
    2×atan(8.33241388569138)-π/2
    2×1.4513543472609-π/2
    2.90270869452179-1.57079632675     		φ = 1.33191237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40777459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.955322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33191237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.312957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15308 KachelY 21308 -2.40777459 1.33191237 -137.955322 76.312957
    Oben rechts KachelX + 1 15309 KachelY 21308 -2.40772666 1.33191237 -137.952576 76.312957
    Unten links KachelX 15308 KachelY + 1 21309 -2.40777459 1.33190102 -137.955322 76.312307
    Unten rechts KachelX + 1 15309 KachelY + 1 21309 -2.40772666 1.33190102 -137.952576 76.312307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33191237-1.33190102) × R
    1.13499999998545e-05 × 6371000     		dl = 72.3108499990732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33191237-1.33190102) × R
    1.13499999998545e-05 × 6371000     		dr = 72.3108499990732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40777459--2.40772666) × cos(1.33191237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.236618423469956 × 6371000     		do = 72.2542821262297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40777459--2.40772666) × cos(1.33190102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.236629451144864 × 6371000     		du = 72.2576495594256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33191237)-sin(1.33190102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236618423469956-0.236629451144864)×R²
    abs(-2.40772666--2.40777459)×1.10276749074323e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10276749074323e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10276749074323e-05×40589641000000     		ar = 5224.89030754051m²