Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15307 / 21305
↖ ↑ ↗
← N 76.314907°
W137.958069°		 ← 72.26 m → N 76.314907°
W137.955322°		 →
↑
72.25 m
↓
↑
72.25 m
↓
N 76.314257°
W137.958069°		 ← 72.26 m →
5 221 m²		 N 76.314257°
W137.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116786956787109 y=0.162548065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116786956787109 × 217)
    floor (0.116786956787109 × 131072)
    floor (15307.5)     		tx = 15307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162548065185547 × 217)
    floor (0.162548065185547 × 131072)
    floor (21305.5)     		ty = 21305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15307 / 21305 ti = "17/15307/21305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15307/21305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15307 ÷ 217
    15307 ÷ 131072     		x = 0.116783142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21305 ÷ 217
    21305 ÷ 131072     		y = 0.162544250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116783142089844 × 2 - 1) × π
    -0.766433715820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.40782253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162544250488281 × 2 - 1) × π
    0.674911499023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.1202970070947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40782253} λ = -2.40782253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1202970070947))-π/2
    2×atan(8.33361226212308)-π/2
    2×1.45137136020286-π/2
    2.90274272040573-1.57079632675     		φ = 1.33194639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40782253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.958069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33194639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.314907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15307 KachelY 21305 -2.40782253 1.33194639 -137.958069 76.314907
    Oben rechts KachelX + 1 15308 KachelY 21305 -2.40777459 1.33194639 -137.955322 76.314907
    Unten links KachelX 15307 KachelY + 1 21306 -2.40782253 1.33193505 -137.958069 76.314257
    Unten rechts KachelX + 1 15308 KachelY + 1 21306 -2.40777459 1.33193505 -137.955322 76.314257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33194639-1.33193505) × R
    1.13399999999153e-05 × 6371000     		dl = 72.2471399994604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33194639-1.33193505) × R
    1.13399999999153e-05 × 6371000     		dr = 72.2471399994604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40782253--2.40777459) × cos(1.33194639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23658536941067 × 6371000     		do = 72.2592615253798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40782253--2.40777459) × cos(1.33193505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236596387460858 × 6371000     		du = 72.2626267215118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33194639)-sin(1.33193505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23658536941067-0.236596387460858)×R²
    abs(-2.40777459--2.40782253)×1.10180501877721e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10180501877721e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10180501877721e-05×40589641000000     		ar = 5220.64654668121m²