Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15306 / 21306
↖ ↑ ↗
← N 76.314257°
W137.960816°		 ← 72.26 m → N 76.314257°
W137.958069°		 →
↑
72.25 m
↓
↑
72.25 m
↓
N 76.313607°
W137.960816°		 ← 72.27 m →
5 221 m²		 N 76.313607°
W137.958069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116779327392578 y=0.162555694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116779327392578 × 217)
    floor (0.116779327392578 × 131072)
    floor (15306.5)     		tx = 15306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162555694580078 × 217)
    floor (0.162555694580078 × 131072)
    floor (21306.5)     		ty = 21306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15306 / 21306 ti = "17/15306/21306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15306/21306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15306 ÷ 217
    15306 ÷ 131072     		x = 0.116775512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21306 ÷ 217
    21306 ÷ 131072     		y = 0.162551879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116775512695312 × 2 - 1) × π
    -0.766448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.40787047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162551879882812 × 2 - 1) × π
    0.674896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12024907019508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40787047} λ = -2.40787047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12024907019508))-π/2
    2×atan(8.33321278416354)-π/2
    2×1.45136568948634-π/2
    2.90273137897267-1.57079632675     		φ = 1.33193505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40787047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.960816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33193505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.314257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15306 KachelY 21306 -2.40787047 1.33193505 -137.960816 76.314257
    Oben rechts KachelX + 1 15307 KachelY 21306 -2.40782253 1.33193505 -137.958069 76.314257
    Unten links KachelX 15306 KachelY + 1 21307 -2.40787047 1.33192371 -137.960816 76.313607
    Unten rechts KachelX + 1 15307 KachelY + 1 21307 -2.40782253 1.33192371 -137.958069 76.313607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33193505-1.33192371) × R
    1.13399999999153e-05 × 6371000     		dl = 72.2471399994604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33193505-1.33192371) × R
    1.13399999999153e-05 × 6371000     		dr = 72.2471399994604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40787047--2.40782253) × cos(1.33193505) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.236596387460858 × 6371000     		do = 72.2626267221811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40787047--2.40782253) × cos(1.33192371) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.23660740548062 × 6371000     		du = 72.2659919090205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33193505)-sin(1.33192371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236596387460858-0.23660740548062)×R²
    abs(-2.40782253--2.40787047)×1.10180197625265e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.10180197625265e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.10180197625265e-05×40589641000000     		ar = 5220.88967215605m²