Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15305 / 3525
↖ ↑ ↗
← N 71.038391°
E156.291504°		 ← 793.88 m → N 71.038391°
E156.313476°		 →
↑
794.02 m
↓
↑
794.02 m
↓
N 71.031250°
E156.291504°		 ← 794.17 m →
630 473 m²		 N 71.031250°
E156.313476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.934173583984375 y=0.215179443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.934173583984375 × 214)
    floor (0.934173583984375 × 16384)
    floor (15305.5)     		tx = 15305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215179443359375 × 214)
    floor (0.215179443359375 × 16384)
    floor (3525.5)     		ty = 3525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15305 / 3525 ti = "14/15305/3525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15305/3525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15305 ÷ 214
    15305 ÷ 16384     		x = 0.93414306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3525 ÷ 214
    3525 ÷ 16384     		y = 0.21514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93414306640625 × 2 - 1) × π
    0.8682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72780134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21514892578125 × 2 - 1) × π
    0.5697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78977208421442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72780134} λ = 2.72780134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78977208421442))-π/2
    2×atan(5.98808753117007)-π/2
    2×1.40532506762656-π/2
    2.81065013525312-1.57079632675     		φ = 1.23985381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72780134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23985381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.038391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15305 KachelY 3525 2.72780134 1.23985381 156.291504 71.038391
    Oben rechts KachelX + 1 15306 KachelY 3525 2.72818483 1.23985381 156.313476 71.038391
    Unten links KachelX 15305 KachelY + 1 3526 2.72780134 1.23972918 156.291504 71.031250
    Unten rechts KachelX + 1 15306 KachelY + 1 3526 2.72818483 1.23972918 156.313476 71.031250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23985381-1.23972918) × R
    0.000124629999999959 × 6371000     		dl = 794.017729999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23985381-1.23972918) × R
    0.000124629999999959 × 6371000     		dr = 794.017729999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72780134-2.72818483) × cos(1.23985381) × R
    0.000383489999999931 × 0.324934545130469 × 6371000     		do = 793.88488644454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72780134-2.72818483) × cos(1.23972918) × R
    0.000383489999999931 × 0.325052409747532 × 6371000     		du = 794.172855020168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23985381)-sin(1.23972918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324934545130469-0.325052409747532)×R²
    abs(2.72818483-2.72780134)×0.000117864617063757×R²
    0.000383489999999931×0.000117864617063757×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117864617063757×40589641000000     		ar = 630473.00230879m²