Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15304 / 19208
↖ ↑ ↗
← S 29.611670°
W 11.865235°		 ← 1 062.09 m → S 29.611670°
W 11.854248°		 →
↑
1 062.05 m
↓
↑
1 062.05 m
↓
S 29.621221°
W 11.865235°		 ← 1 061.99 m →
1 127 931 m²		 S 29.621221°
W 11.854248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467056274414062 y=0.586196899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467056274414062 × 215)
    floor (0.467056274414062 × 32768)
    floor (15304.5)     		tx = 15304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586196899414062 × 215)
    floor (0.586196899414062 × 32768)
    floor (19208.5)     		ty = 19208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15304 / 19208 ti = "15/15304/19208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15304/19208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15304 ÷ 215
    15304 ÷ 32768     		x = 0.467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19208 ÷ 215
    19208 ÷ 32768     		y = 0.586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.06591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20708741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.17236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.541495218108154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20708741} λ = -0.20708741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541495218108154))-π/2
    2×atan(0.581877567728483)-π/2
    2×0.526987593141875-π/2
    1.05397518628375-1.57079632675     		φ = -0.51682114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20708741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.865235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51682114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.611670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15304 KachelY 19208 -0.20708741 -0.51682114 -11.865235 -29.611670
    Oben rechts KachelX + 1 15305 KachelY 19208 -0.20689566 -0.51682114 -11.854248 -29.611670
    Unten links KachelX 15304 KachelY + 1 19209 -0.20708741 -0.51698784 -11.865235 -29.621221
    Unten rechts KachelX + 1 15305 KachelY + 1 19209 -0.20689566 -0.51698784 -11.854248 -29.621221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51682114--0.51698784) × R
    0.000166699999999964 × 6371000     		dl = 1062.04569999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51682114--0.51698784) × R
    0.000166699999999964 × 6371000     		dr = 1062.04569999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20708741--0.20689566) × cos(-0.51682114) × R
    0.000191749999999991 × 0.869394304694246 × 6371000     		do = 1062.0862063409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20708741--0.20689566) × cos(-0.51698784) × R
    0.000191749999999991 × 0.869311922984862 × 6371000     		du = 1061.98556561123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51682114)-sin(-0.51698784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869394304694246-0.869311922984862)×R²
    abs(-0.20689566--0.20708741)×8.23817093833501e-05×R²
    0.000191749999999991×8.23817093833501e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.23817093833501e-05×40589641000000     		ar = 1127930.64855826m²