Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15303 / 8600
↖ ↑ ↗
← N 64.661518°
W 11.876220°		 ← 522.79 m → N 64.661518°
W 11.865235°		 →
↑
522.87 m
↓
↑
522.87 m
↓
N 64.656815°
W 11.876220°		 ← 522.88 m →
273 375 m²		 N 64.656815°
W 11.865235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467025756835938 y=0.262466430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467025756835938 × 215)
    floor (0.467025756835938 × 32768)
    floor (15303.5)     		tx = 15303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262466430664062 × 215)
    floor (0.262466430664062 × 32768)
    floor (8600.5)     		ty = 8600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15303 / 8600 ti = "15/15303/8600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15303/8600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15303 ÷ 215
    15303 ÷ 32768     		x = 0.467010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8600 ÷ 215
    8600 ÷ 32768     		y = 0.262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467010498046875 × 2 - 1) × π
    -0.06597900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20727915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262451171875 × 2 - 1) × π
    0.47509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49256330657007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20727915} λ = -0.20727915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49256330657007))-π/2
    2×atan(4.44848374462075)-π/2
    2×1.34967635233827-π/2
    2.69935270467654-1.57079632675     		φ = 1.12855638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20727915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.876220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12855638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.661518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15303 KachelY 8600 -0.20727915 1.12855638 -11.876220 64.661518
    Oben rechts KachelX + 1 15304 KachelY 8600 -0.20708741 1.12855638 -11.865235 64.661518
    Unten links KachelX 15303 KachelY + 1 8601 -0.20727915 1.12847431 -11.876220 64.656815
    Unten rechts KachelX + 1 15304 KachelY + 1 8601 -0.20708741 1.12847431 -11.865235 64.656815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12855638-1.12847431) × R
    8.20699999999341e-05 × 6371000     		dl = 522.86796999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12855638-1.12847431) × R
    8.20699999999341e-05 × 6371000     		dr = 522.86796999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20727915--0.20708741) × cos(1.12855638) × R
    0.000191739999999996 × 0.427964990413793 × 6371000     		do = 522.791564265812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20727915--0.20708741) × cos(1.12847431) × R
    0.000191739999999996 × 0.428039163453734 × 6371000     		du = 522.882172237132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12855638)-sin(1.12847431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427964990413793-0.428039163453734)×R²
    abs(-0.20708741--0.20727915)×7.41730399414497e-05×R²
    0.000191739999999996×7.41730399414497e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.41730399414497e-05×40589641000000     		ar = 273374.652096924m²