Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 153 / 135
↖ ↑ ↗
← N 64.472794°
W 72.421875°		 ← 33.693 km → N 64.472794°
W 71.718750°		 →
↑
33.880 km
↓
↑
33.880 km
↓
N 64.168107°
W 72.421875°		 ← 34.067 km →
1 147.84 km²		 N 64.168107°
W 71.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2998046875 y=0.2646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2998046875 × 29)
    floor (0.2998046875 × 512)
    floor (153.5)     		tx = 153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2646484375 × 29)
    floor (0.2646484375 × 512)
    floor (135.5)     		ty = 135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 153 / 135 ti = "9/153/135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/153/135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 153 ÷ 29
    153 ÷ 512     		x = 0.298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 135 ÷ 29
    135 ÷ 512     		y = 0.263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.298828125 × 2 - 1) × π
    -0.40234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.26400017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263671875 × 2 - 1) × π
    0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.26400017} λ = -1.26400017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48489340263086))-π/2
    2×atan(4.41449481416346)-π/2
    2×1.34802942844824-π/2
    2.69605885689648-1.57079632675     		φ = 1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.26400017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 153 KachelY 135 -1.26400017 1.12526253 -72.421875 64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 154 KachelY 135 -1.25172832 1.12526253 -71.718750 64.472794
    Unten links KachelX 153 KachelY + 1 136 -1.26400017 1.11994474 -72.421875 64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 154 KachelY + 1 136 -1.25172832 1.11994474 -71.718750 64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12526253-1.11994474) × R
    0.0053177900000001 × 6371000     		dl = 33879.6400900006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12526253-1.11994474) × R
    0.0053177900000001 × 6371000     		dr = 33879.6400900006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.26400017--1.25172832) × cos(1.12526253) × R
    0.0122718500000001 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 33692.565192566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.26400017--1.25172832) × cos(1.11994474) × R
    0.0122718500000001 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 34067.2661449889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12526253)-sin(1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.435732185161907)×R²
    abs(-1.25172832--1.26400017)×0.00479255553077274×R²
    0.0122718500000001×0.00479255553077274×6371000²
    0.0122718500000001×0.00479255553077274×40589641000000     		ar = 1147842054.11401m²