Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15299 / 8577
↖ ↑ ↗
← N 64.769443°
W 11.920166°		 ← 520.71 m → N 64.769443°
W 11.909180°		 →
↑
520.77 m
↓
↑
520.77 m
↓
N 64.764759°
W 11.920166°		 ← 520.80 m →
271 192 m²		 N 64.764759°
W 11.909180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466903686523438 y=0.261764526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466903686523438 × 215)
    floor (0.466903686523438 × 32768)
    floor (15299.5)     		tx = 15299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261764526367188 × 215)
    floor (0.261764526367188 × 32768)
    floor (8577.5)     		ty = 8577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15299 / 8577 ti = "15/15299/8577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15299/8577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15299 ÷ 215
    15299 ÷ 32768     		x = 0.466888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8577 ÷ 215
    8577 ÷ 32768     		y = 0.261749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.06622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20804614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261749267578125 × 2 - 1) × π
    0.47650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49697350133511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20804614} λ = -0.20804614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49697350133511))-π/2
    2×atan(4.46814574910978)-π/2
    2×1.35061817799937-π/2
    2.70123635599873-1.57079632675     		φ = 1.13044003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20804614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.920166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13044003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.769443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15299 KachelY 8577 -0.20804614 1.13044003 -11.920166 64.769443
    Oben rechts KachelX + 1 15300 KachelY 8577 -0.20785440 1.13044003 -11.909180 64.769443
    Unten links KachelX 15299 KachelY + 1 8578 -0.20804614 1.13035829 -11.920166 64.764759
    Unten rechts KachelX + 1 15300 KachelY + 1 8578 -0.20785440 1.13035829 -11.909180 64.764759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13044003-1.13035829) × R
    8.17399999999413e-05 × 6371000     		dl = 520.765539999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13044003-1.13035829) × R
    8.17399999999413e-05 × 6371000     		dr = 520.765539999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20804614--0.20785440) × cos(1.13044003) × R
    0.000191739999999996 × 0.426261798141007 × 6371000     		do = 520.71098624546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20804614--0.20785440) × cos(1.13035829) × R
    0.000191739999999996 × 0.42633573870823 × 6371000     		du = 520.801310233794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13044003)-sin(1.13035829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426261798141007-0.42633573870823)×R²
    abs(-0.20785440--0.20804614)×7.3940567223485e-05×R²
    0.000191739999999996×7.3940567223485e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.3940567223485e-05×40589641000000     		ar = 271191.856896851m²