Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15298 / 3530
↖ ↑ ↗
← N 71.002660°
E156.137695°		 ← 795.33 m → N 71.002660°
E156.159668°		 →
↑
795.48 m
↓
↑
795.48 m
↓
N 70.995506°
E156.137695°		 ← 795.61 m →
632 783 m²		 N 70.995506°
E156.159668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933746337890625 y=0.215484619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933746337890625 × 214)
    floor (0.933746337890625 × 16384)
    floor (15298.5)     		tx = 15298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215484619140625 × 214)
    floor (0.215484619140625 × 16384)
    floor (3530.5)     		ty = 3530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15298 / 3530 ti = "14/15298/3530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15298/3530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15298 ÷ 214
    15298 ÷ 16384     		x = 0.9337158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3530 ÷ 214
    3530 ÷ 16384     		y = 0.2154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9337158203125 × 2 - 1) × π
    0.867431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.72511687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2154541015625 × 2 - 1) × π
    0.569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78785460822961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72511687} λ = 2.72511687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78785460822961))-π/2
    2×atan(5.9766165183446)-π/2
    2×1.40501325791525-π/2
    2.81002651583051-1.57079632675     		φ = 1.23923019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72511687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23923019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.002660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15298 KachelY 3530 2.72511687 1.23923019 156.137695 71.002660
    Oben rechts KachelX + 1 15299 KachelY 3530 2.72550036 1.23923019 156.159668 71.002660
    Unten links KachelX 15298 KachelY + 1 3531 2.72511687 1.23910533 156.137695 70.995506
    Unten rechts KachelX + 1 15299 KachelY + 1 3531 2.72550036 1.23910533 156.159668 70.995506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23923019-1.23910533) × R
    0.000124860000000115 × 6371000     		dl = 795.483060000735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23923019-1.23910533) × R
    0.000124860000000115 × 6371000     		dr = 795.483060000735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72511687-2.72550036) × cos(1.23923019) × R
    0.000383489999999931 × 0.32552426210914 × 6371000     		do = 795.325691688744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72511687-2.72550036) × cos(1.23910533) × R
    0.000383489999999931 × 0.325642318907628 × 6371000     		du = 795.614129804871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23923019)-sin(1.23910533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32552426210914-0.325642318907628)×R²
    abs(2.72550036-2.72511687)×0.000118056798488142×R²
    0.000383489999999931×0.000118056798488142×6371000²
    0.000383489999999931×0.000118056798488142×40589641000000     		ar = 632782.839561605m²