Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15298 / 10307
↖ ↑ ↗
← N 55.360381°
W 11.931152°		 ← 694.40 m → N 55.360381°
W 11.920166°		 →
↑
694.44 m
↓
↑
694.44 m
↓
N 55.354136°
W 11.931152°		 ← 694.50 m →
482 253 m²		 N 55.354136°
W 11.920166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466873168945312 y=0.314559936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466873168945312 × 215)
    floor (0.466873168945312 × 32768)
    floor (15298.5)     		tx = 15298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314559936523438 × 215)
    floor (0.314559936523438 × 32768)
    floor (10307.5)     		ty = 10307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15298 / 10307 ti = "15/15298/10307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15298/10307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15298 ÷ 215
    15298 ÷ 32768     		x = 0.46685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10307 ÷ 215
    10307 ÷ 32768     		y = 0.314544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20823789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314544677734375 × 2 - 1) × π
    0.37091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16525015596432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20823789} λ = -0.20823789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16525015596432))-π/2
    2×atan(3.20672496425171)-π/2
    2×1.26850862146014-π/2
    2.53701724292028-1.57079632675     		φ = 0.96622092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20823789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96622092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.360381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15298 KachelY 10307 -0.20823789 0.96622092 -11.931152 55.360381
    Oben rechts KachelX + 1 15299 KachelY 10307 -0.20804614 0.96622092 -11.920166 55.360381
    Unten links KachelX 15298 KachelY + 1 10308 -0.20823789 0.96611192 -11.931152 55.354136
    Unten rechts KachelX + 1 15299 KachelY + 1 10308 -0.20804614 0.96611192 -11.920166 55.354136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96622092-0.96611192) × R
    0.000109000000000026 × 6371000     		dl = 694.439000000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96622092-0.96611192) × R
    0.000109000000000026 × 6371000     		dr = 694.439000000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20823789--0.20804614) × cos(0.96622092) × R
    0.000191750000000018 × 0.568412796199516 × 6371000     		do = 694.395382039646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20823789--0.20804614) × cos(0.96611192) × R
    0.000191750000000018 × 0.568502471865926 × 6371000     		du = 694.504933353502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96622092)-sin(0.96611192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568412796199516-0.568502471865926)×R²
    abs(-0.20804614--0.20823789)×8.96756664100495e-05×R²
    0.000191750000000018×8.96756664100495e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.96756664100495e-05×40589641000000     		ar = 482253.273538808m²