Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15297 / 10311
↖ ↑ ↗
← N 55.335394°
W 11.942139°		 ← 694.83 m → N 55.335394°
W 11.931152°		 →
↑
694.88 m
↓
↑
694.88 m
↓
N 55.329144°
W 11.942139°		 ← 694.94 m →
482 868 m²		 N 55.329144°
W 11.931152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466842651367188 y=0.314682006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466842651367188 × 215)
    floor (0.466842651367188 × 32768)
    floor (15297.5)     		tx = 15297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314682006835938 × 215)
    floor (0.314682006835938 × 32768)
    floor (10311.5)     		ty = 10311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15297 / 10311 ti = "15/15297/10311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15297/10311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15297 ÷ 215
    15297 ÷ 32768     		x = 0.466827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10311 ÷ 215
    10311 ÷ 32768     		y = 0.314666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.06634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20842964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314666748046875 × 2 - 1) × π
    0.37066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1644831655704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20842964} λ = -0.20842964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1644831655704))-π/2
    2×atan(3.20426637998397)-π/2
    2×1.26829056909634-π/2
    2.53658113819268-1.57079632675     		φ = 0.96578481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20842964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.942139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96578481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.335394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15297 KachelY 10311 -0.20842964 0.96578481 -11.942139 55.335394
    Oben rechts KachelX + 1 15298 KachelY 10311 -0.20823789 0.96578481 -11.931152 55.335394
    Unten links KachelX 15297 KachelY + 1 10312 -0.20842964 0.96567574 -11.942139 55.329144
    Unten rechts KachelX + 1 15298 KachelY + 1 10312 -0.20823789 0.96567574 -11.931152 55.329144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96578481-0.96567574) × R
    0.000109070000000044 × 6371000     		dl = 694.884970000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96578481-0.96567574) × R
    0.000109070000000044 × 6371000     		dr = 694.884970000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20842964--0.20823789) × cos(0.96578481) × R
    0.000191749999999991 × 0.568771548809141 × 6371000     		do = 694.833648308503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20842964--0.20823789) × cos(0.96567574) × R
    0.000191749999999991 × 0.568861255015174 × 6371000     		du = 694.943236930762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96578481)-sin(0.96567574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568771548809141-0.568861255015174)×R²
    abs(-0.20823789--0.20842964)×8.97062060335463e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97062060335463e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97062060335463e-05×40589641000000     		ar = 482867.535081582m²