Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15296 / 10303
↖ ↑ ↗
← N 55.385352°
W 11.953125°		 ← 693.96 m → N 55.385352°
W 11.942139°		 →
↑
694.06 m
↓
↑
694.06 m
↓
N 55.379110°
W 11.953125°		 ← 694.07 m →
481 684 m²		 N 55.379110°
W 11.942139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466812133789062 y=0.314437866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466812133789062 × 215)
    floor (0.466812133789062 × 32768)
    floor (15296.5)     		tx = 15296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314437866210938 × 215)
    floor (0.314437866210938 × 32768)
    floor (10303.5)     		ty = 10303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15296 / 10303 ti = "15/15296/10303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15296/10303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15296 ÷ 215
    15296 ÷ 32768     		x = 0.466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10303 ÷ 215
    10303 ÷ 32768     		y = 0.314422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466796875 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314422607421875 × 2 - 1) × π
    0.37115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16601714635825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20862139} λ = -0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16601714635825))-π/2
    2×atan(3.20918543495331)-π/2
    2×1.26872653626838-π/2
    2.53745307253676-1.57079632675     		φ = 0.96665675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96665675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.385352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15296 KachelY 10303 -0.20862139 0.96665675 -11.953125 55.385352
    Oben rechts KachelX + 1 15297 KachelY 10303 -0.20842964 0.96665675 -11.942139 55.385352
    Unten links KachelX 15296 KachelY + 1 10304 -0.20862139 0.96654781 -11.953125 55.379110
    Unten rechts KachelX + 1 15297 KachelY + 1 10304 -0.20842964 0.96654781 -11.942139 55.379110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96665675-0.96654781) × R
    0.000108939999999946 × 6371000     		dl = 694.056739999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96665675-0.96654781) × R
    0.000108939999999946 × 6371000     		dr = 694.056739999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20862139--0.20842964) × cos(0.96665675) × R
    0.000191749999999991 × 0.568054165919914 × 6371000     		do = 693.957265213745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20862139--0.20842964) × cos(0.96654781) × R
    0.000191749999999991 × 0.568143819206898 × 6371000     		du = 694.066789188016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96665675)-sin(0.96654781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568054165919914-0.568143819206898)×R²
    abs(-0.20842964--0.20862139)×8.96532869835154e-05×R²
    0.000191749999999991×8.96532869835154e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.96532869835154e-05×40589641000000     		ar = 481683.72559664m²