Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15294 / 21309
↖ ↑ ↗
← N 76.312307°
W137.993774°		 ← 72.27 m → N 76.312307°
W137.991028°		 →
↑
72.25 m
↓
↑
72.25 m
↓
N 76.311657°
W137.993774°		 ← 72.28 m →
5 222 m²		 N 76.311657°
W137.991028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116687774658203 y=0.162578582763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116687774658203 × 217)
    floor (0.116687774658203 × 131072)
    floor (15294.5)     		tx = 15294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162578582763672 × 217)
    floor (0.162578582763672 × 131072)
    floor (21309.5)     		ty = 21309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15294 / 21309 ti = "17/15294/21309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15294/21309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15294 ÷ 217
    15294 ÷ 131072     		x = 0.116683959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21309 ÷ 217
    21309 ÷ 131072     		y = 0.162574768066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116683959960938 × 2 - 1) × π
    -0.766632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.40844571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162574768066406 × 2 - 1) × π
    0.674850463867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.12010525949622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40844571} λ = -2.40844571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12010525949622))-π/2
    2×atan(8.33201446517691)-π/2
    2×1.45134867575196-π/2
    2.90269735150392-1.57079632675     		φ = 1.33190102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40844571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.993774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33190102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.312307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15294 KachelY 21309 -2.40844571 1.33190102 -137.993774 76.312307
    Oben rechts KachelX + 1 15295 KachelY 21309 -2.40839777 1.33190102 -137.991028 76.312307
    Unten links KachelX 15294 KachelY + 1 21310 -2.40844571 1.33188968 -137.993774 76.311657
    Unten rechts KachelX + 1 15295 KachelY + 1 21310 -2.40839777 1.33188968 -137.991028 76.311657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33190102-1.33188968) × R
    1.13400000001374e-05 × 6371000     		dl = 72.2471400008751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33190102-1.33188968) × R
    1.13400000001374e-05 × 6371000     		dr = 72.2471400008751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40844571--2.40839777) × cos(1.33190102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236629451144864 × 6371000     		do = 72.2727252216664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40844571--2.40839777) × cos(1.33188968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236640469073315 × 6371000     		du = 72.276090380617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33190102)-sin(1.33188968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236629451144864-0.236640469073315)×R²
    abs(-2.40839777--2.40844571)×1.10179284516232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10179284516232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10179284516232e-05×40589641000000     		ar = 5221.61925902094m²