Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15293 / 8429
↖ ↑ ↗
← N 65.453698°
W 11.986084°		 ← 507.50 m → N 65.453698°
W 11.975098°		 →
↑
507.58 m
↓
↑
507.58 m
↓
N 65.449133°
W 11.986084°		 ← 507.59 m →
257 620 m²		 N 65.449133°
W 11.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466720581054688 y=0.257247924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466720581054688 × 215)
    floor (0.466720581054688 × 32768)
    floor (15293.5)     		tx = 15293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257247924804688 × 215)
    floor (0.257247924804688 × 32768)
    floor (8429.5)     		ty = 8429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15293 / 8429 ti = "15/15293/8429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15293/8429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15293 ÷ 215
    15293 ÷ 32768     		x = 0.466705322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8429 ÷ 215
    8429 ÷ 32768     		y = 0.257232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.06658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20919663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257232666015625 × 2 - 1) × π
    0.48553466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52535214591019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20919663} λ = -0.20919663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52535214591019))-π/2
    2×atan(4.59676201526918)-π/2
    2×1.35658942650877-π/2
    2.71317885301754-1.57079632675     		φ = 1.14238253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20919663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.986084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14238253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.453698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15293 KachelY 8429 -0.20919663 1.14238253 -11.986084 65.453698
    Oben rechts KachelX + 1 15294 KachelY 8429 -0.20900488 1.14238253 -11.975098 65.453698
    Unten links KachelX 15293 KachelY + 1 8430 -0.20919663 1.14230286 -11.986084 65.449133
    Unten rechts KachelX + 1 15294 KachelY + 1 8430 -0.20900488 1.14230286 -11.975098 65.449133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14238253-1.14230286) × R
    7.96699999998651e-05 × 6371000     		dl = 507.577569999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14238253-1.14230286) × R
    7.96699999998651e-05 × 6371000     		dr = 507.577569999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20919663--0.20900488) × cos(1.14238253) × R
    0.000191749999999991 × 0.41542847421653 × 6371000     		do = 507.503729670501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20919663--0.20900488) × cos(1.14230286) × R
    0.000191749999999991 × 0.415500942789313 × 6371000     		du = 507.592260123405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14238253)-sin(1.14230286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41542847421653-0.415500942789313)×R²
    abs(-0.20900488--0.20919663)×7.2468572783313e-05×R²
    0.000191749999999991×7.2468572783313e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.2468572783313e-05×40589641000000     		ar = 257619.978044113m²