Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15293 / 8427
↖ ↑ ↗
← N 65.462824°
W 11.986084°		 ← 507.33 m → N 65.462824°
W 11.975098°		 →
↑
507.32 m
↓
↑
507.32 m
↓
N 65.458261°
W 11.986084°		 ← 507.42 m →
257 401 m²		 N 65.458261°
W 11.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466720581054688 y=0.257186889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466720581054688 × 215)
    floor (0.466720581054688 × 32768)
    floor (15293.5)     		tx = 15293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257186889648438 × 215)
    floor (0.257186889648438 × 32768)
    floor (8427.5)     		ty = 8427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15293 / 8427 ti = "15/15293/8427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15293/8427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15293 ÷ 215
    15293 ÷ 32768     		x = 0.466705322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8427 ÷ 215
    8427 ÷ 32768     		y = 0.257171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.06658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20919663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257171630859375 × 2 - 1) × π
    0.48565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52573564110715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20919663} λ = -0.20919663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52573564110715))-π/2
    2×atan(4.59852518948642)-π/2
    2×1.35666907002925-π/2
    2.71333814005849-1.57079632675     		φ = 1.14254181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20919663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.986084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14254181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.462824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15293 KachelY 8427 -0.20919663 1.14254181 -11.986084 65.462824
    Oben rechts KachelX + 1 15294 KachelY 8427 -0.20900488 1.14254181 -11.975098 65.462824
    Unten links KachelX 15293 KachelY + 1 8428 -0.20919663 1.14246218 -11.986084 65.458261
    Unten rechts KachelX + 1 15294 KachelY + 1 8428 -0.20900488 1.14246218 -11.975098 65.458261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14254181-1.14246218) × R
    7.96299999998862e-05 × 6371000     		dl = 507.322729999275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14254181-1.14246218) × R
    7.96299999998862e-05 × 6371000     		dr = 507.322729999275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20919663--0.20900488) × cos(1.14254181) × R
    0.000191749999999991 × 0.415283583742386 × 6371000     		do = 507.326725780335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20919663--0.20900488) × cos(1.14246218) × R
    0.000191749999999991 × 0.415356021200072 × 6371000     		du = 507.415218221816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14254181)-sin(1.14246218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415283583742386-0.415356021200072)×R²
    abs(-0.20900488--0.20919663)×7.24374576867581e-05×R²
    0.000191749999999991×7.24374576867581e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.24374576867581e-05×40589641000000     		ar = 257400.826773844m²