Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15293 / 21311
↖ ↑ ↗
← N 76.311008°
W137.996521°		 ← 72.28 m → N 76.311008°
W137.993774°		 →
↑
72.31 m
↓
↑
72.31 m
↓
N 76.310357°
W137.996521°		 ← 72.28 m →
5 227 m²		 N 76.310357°
W137.993774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116680145263672 y=0.162593841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116680145263672 × 217)
    floor (0.116680145263672 × 131072)
    floor (15293.5)     		tx = 15293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162593841552734 × 217)
    floor (0.162593841552734 × 131072)
    floor (21311.5)     		ty = 21311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15293 / 21311 ti = "17/15293/21311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15293/21311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15293 ÷ 217
    15293 ÷ 131072     		x = 0.116676330566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21311 ÷ 217
    21311 ÷ 131072     		y = 0.162590026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116676330566406 × 2 - 1) × π
    -0.766647338867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.40849365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162590026855469 × 2 - 1) × π
    0.674819946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.12000938569698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40849365} λ = -2.40849365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12000938569698))-π/2
    2×atan(8.33121568158663)-π/2
    2×1.4513373319416-π/2
    2.9026746638832-1.57079632675     		φ = 1.33187834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40849365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.996521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33187834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.311008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15293 KachelY 21311 -2.40849365 1.33187834 -137.996521 76.311008
    Oben rechts KachelX + 1 15294 KachelY 21311 -2.40844571 1.33187834 -137.993774 76.311008
    Unten links KachelX 15293 KachelY + 1 21312 -2.40849365 1.33186699 -137.996521 76.310357
    Unten rechts KachelX + 1 15294 KachelY + 1 21312 -2.40844571 1.33186699 -137.993774 76.310357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33187834-1.33186699) × R
    1.13500000000766e-05 × 6371000     		dl = 72.3108500004879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33187834-1.33186699) × R
    1.13500000000766e-05 × 6371000     		dr = 72.3108500004879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40849365--2.40844571) × cos(1.33187834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236651486971336 × 6371000     		do = 72.2794555302732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40849365--2.40844571) × cos(1.33186699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236662514554843 × 6371000     		du = 72.2828236381263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33187834)-sin(1.33186699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236651486971336-0.236662514554843)×R²
    abs(-2.40844571--2.40849365)×1.10275835075169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10275835075169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10275835075169e-05×40589641000000     		ar = 5226.71064224946m²