Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15292 / 8428
↖ ↑ ↗
← N 65.458261°
W 11.997070°		 ← 507.42 m → N 65.458261°
W 11.986084°		 →
↑
507.45 m
↓
↑
507.45 m
↓
N 65.453698°
W 11.997070°		 ← 507.50 m →
257 510 m²		 N 65.453698°
W 11.986084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466690063476562 y=0.257217407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466690063476562 × 215)
    floor (0.466690063476562 × 32768)
    floor (15292.5)     		tx = 15292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257217407226562 × 215)
    floor (0.257217407226562 × 32768)
    floor (8428.5)     		ty = 8428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15292 / 8428 ti = "15/15292/8428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15292/8428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15292 ÷ 215
    15292 ÷ 32768     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8428 ÷ 215
    8428 ÷ 32768     		y = 0.2572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2572021484375 × 2 - 1) × π
    0.485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52554389350867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52554389350867))-π/2
    2×atan(4.59764351785669)-π/2
    2×1.35662925174196-π/2
    2.71325850348392-1.57079632675     		φ = 1.14246218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14246218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.458261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15292 KachelY 8428 -0.20938838 1.14246218 -11.997070 65.458261
    Oben rechts KachelX + 1 15293 KachelY 8428 -0.20919663 1.14246218 -11.986084 65.458261
    Unten links KachelX 15292 KachelY + 1 8429 -0.20938838 1.14238253 -11.997070 65.453698
    Unten rechts KachelX + 1 15293 KachelY + 1 8429 -0.20919663 1.14238253 -11.986084 65.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14246218-1.14238253) × R
    7.96500000002087e-05 × 6371000     		dl = 507.45015000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14246218-1.14238253) × R
    7.96500000002087e-05 × 6371000     		dr = 507.45015000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20919663) × cos(1.14246218) × R
    0.000191750000000018 × 0.415356021200072 × 6371000     		do = 507.415218221889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20919663) × cos(1.14238253) × R
    0.000191750000000018 × 0.41542847421653 × 6371000     		du = 507.503729670575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14246218)-sin(1.14238253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415356021200072-0.41542847421653)×R²
    abs(-0.20919663--0.20938838)×7.24530164576964e-05×R²
    0.000191750000000018×7.24530164576964e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.24530164576964e-05×40589641000000     		ar = 257510.386309223m²