Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15292 / 21389
↖ ↑ ↗
← N 76.260217°
W137.999267°		 ← 72.53 m → N 76.260217°
W137.996521°		 →
↑
72.57 m
↓
↑
72.57 m
↓
N 76.259564°
W137.999267°		 ← 72.53 m →
5 263 m²		 N 76.259564°
W137.996521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116672515869141 y=0.163188934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116672515869141 × 217)
    floor (0.116672515869141 × 131072)
    floor (15292.5)     		tx = 15292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163188934326172 × 217)
    floor (0.163188934326172 × 131072)
    floor (21389.5)     		ty = 21389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15292 / 21389 ti = "17/15292/21389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15292/21389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15292 ÷ 217
    15292 ÷ 131072     		x = 0.116668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21389 ÷ 217
    21389 ÷ 131072     		y = 0.163185119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.76666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.40854158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163185119628906 × 2 - 1) × π
    0.673629760742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.11627030752662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40854158} λ = -2.40854158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11627030752662))-π/2
    2×atan(8.30012278051788)-π/2
    2×1.45089409817229-π/2
    2.90178819634458-1.57079632675     		φ = 1.33099187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40854158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.999267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33099187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.260217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15292 KachelY 21389 -2.40854158 1.33099187 -137.999267 76.260217
    Oben rechts KachelX + 1 15293 KachelY 21389 -2.40849365 1.33099187 -137.996521 76.260217
    Unten links KachelX 15292 KachelY + 1 21390 -2.40854158 1.33098048 -137.999267 76.259564
    Unten rechts KachelX + 1 15293 KachelY + 1 21390 -2.40849365 1.33098048 -137.996521 76.259564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33099187-1.33098048) × R
    1.13900000000555e-05 × 6371000     		dl = 72.5656900003537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33099187-1.33098048) × R
    1.13900000000555e-05 × 6371000     		dr = 72.5656900003537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40854158--2.40849365) × cos(1.33099187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237512683342969 × 6371000     		do = 72.5273551364006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40854158--2.40849365) × cos(1.33098048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237523747396304 × 6371000     		du = 72.5307336781871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33099187)-sin(1.33098048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237512683342969-0.237523747396304)×R²
    abs(-2.40849365--2.40854158)×1.10640533354522e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10640533354522e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10640533354522e-05×40589641000000     		ar = 5263.12015263431m²