Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15289 / 3539
↖ ↑ ↗
← N 70.938181°
E155.939941°		 ← 797.95 m → N 70.938181°
E155.961914°		 →
↑
798.10 m
↓
↑
798.10 m
↓
N 70.931003°
E155.939941°		 ← 798.24 m →
636 952 m²		 N 70.931003°
E155.961914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933197021484375 y=0.216033935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933197021484375 × 214)
    floor (0.933197021484375 × 16384)
    floor (15289.5)     		tx = 15289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216033935546875 × 214)
    floor (0.216033935546875 × 16384)
    floor (3539.5)     		ty = 3539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15289 / 3539 ti = "14/15289/3539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15289/3539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15289 ÷ 214
    15289 ÷ 16384     		x = 0.93316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3539 ÷ 214
    3539 ÷ 16384     		y = 0.21600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93316650390625 × 2 - 1) × π
    0.8663330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72166541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21600341796875 × 2 - 1) × π
    0.5679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78440315145697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72166541} λ = 2.72166541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78440315145697))-π/2
    2×atan(5.95602404224782)-π/2
    2×1.40445057392121-π/2
    2.80890114784241-1.57079632675     		φ = 1.23810482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72166541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23810482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.938181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15289 KachelY 3539 2.72166541 1.23810482 155.939941 70.938181
    Oben rechts KachelX + 1 15290 KachelY 3539 2.72204891 1.23810482 155.961914 70.938181
    Unten links KachelX 15289 KachelY + 1 3540 2.72166541 1.23797955 155.939941 70.931003
    Unten rechts KachelX + 1 15290 KachelY + 1 3540 2.72204891 1.23797955 155.961914 70.931003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23810482-1.23797955) × R
    0.000125270000000066 × 6371000     		dl = 798.095170000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23810482-1.23797955) × R
    0.000125270000000066 × 6371000     		dr = 798.095170000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72166541-2.72204891) × cos(1.23810482) × R
    0.00038349999999987 × 0.326588130999465 × 6371000     		do = 797.945758825905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72166541-2.72204891) × cos(1.23797955) × R
    0.00038349999999987 × 0.326706529475913 × 6371000     		du = 798.235039277844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23810482)-sin(1.23797955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326588130999465-0.326706529475913)×R²
    abs(2.72204891-2.72166541)×0.000118398476448289×R²
    0.00038349999999987×0.000118398476448289×6371000²
    0.00038349999999987×0.000118398476448289×40589641000000     		ar = 636952.093541102m²