Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15288 / 14392
↖ ↑ ↗
← N 70.510241°
W 96.020508°		 ← 203.78 m → N 70.510241°
W 96.015015°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
N 70.508408°
W 96.020508°		 ← 203.80 m →
41 534 m²		 N 70.508408°
W 96.015015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.233283996582031 y=0.219612121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.233283996582031 × 216)
    floor (0.233283996582031 × 65536)
    floor (15288.5)     		tx = 15288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219612121582031 × 216)
    floor (0.219612121582031 × 65536)
    floor (14392.5)     		ty = 14392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15288 / 14392 ti = "16/15288/14392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15288/14392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15288 ÷ 216
    15288 ÷ 65536     		x = 0.2332763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14392 ÷ 216
    14392 ÷ 65536     		y = 0.2196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.67587401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2196044921875 × 2 - 1) × π
    0.560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7617769348363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67587401} λ = -1.67587401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7617769348363))-π/2
    2×atan(5.82277489870824)-π/2
    2×1.40071609155375-π/2
    2.80143218310751-1.57079632675     		φ = 1.23063586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67587401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23063586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.510241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15288 KachelY 14392 -1.67587401 1.23063586 -96.020508 70.510241
    Oben rechts KachelX + 1 15289 KachelY 14392 -1.67577814 1.23063586 -96.015015 70.510241
    Unten links KachelX 15288 KachelY + 1 14393 -1.67587401 1.23060387 -96.020508 70.508408
    Unten rechts KachelX + 1 15289 KachelY + 1 14393 -1.67577814 1.23060387 -96.015015 70.508408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23063586-1.23060387) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dl = 203.808290000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23063586-1.23060387) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dr = 203.808290000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67587401--1.67577814) × cos(1.23063586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333638368666138 × 6371000     		do = 203.782235184024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67587401--1.67577814) × cos(1.23060387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333668525504879 × 6371000     		du = 203.800654612308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23063586)-sin(1.23060387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333638368666138-0.333668525504879)×R²
    abs(-1.67577814--1.67587401)×3.01568387405804e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01568387405804e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01568387405804e-05×40589641000000     		ar = 41534.3859047928m²