Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15285 / 8085
↖ ↑ ↗
← N 66.977370°
W 12.073975°		 ← 477.78 m → N 66.977370°
W 12.062988°		 →
↑
477.83 m
↓
↑
477.83 m
↓
N 66.973073°
W 12.073975°		 ← 477.86 m →
228 314 m²		 N 66.973073°
W 12.062988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466476440429688 y=0.246749877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466476440429688 × 215)
    floor (0.466476440429688 × 32768)
    floor (15285.5)     		tx = 15285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246749877929688 × 215)
    floor (0.246749877929688 × 32768)
    floor (8085.5)     		ty = 8085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15285 / 8085 ti = "15/15285/8085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15285/8085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15285 ÷ 215
    15285 ÷ 32768     		x = 0.466461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8085 ÷ 215
    8085 ÷ 32768     		y = 0.246734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.06707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21073061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246734619140625 × 2 - 1) × π
    0.50653076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59131331978738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21073061} λ = -0.21073061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59131331978738))-π/2
    2×atan(4.91019334969332)-π/2
    2×1.36988597702046-π/2
    2.73977195404092-1.57079632675     		φ = 1.16897563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21073061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.073975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16897563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.977370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15285 KachelY 8085 -0.21073061 1.16897563 -12.073975 66.977370
    Oben rechts KachelX + 1 15286 KachelY 8085 -0.21053886 1.16897563 -12.062988 66.977370
    Unten links KachelX 15285 KachelY + 1 8086 -0.21073061 1.16890063 -12.073975 66.973073
    Unten rechts KachelX + 1 15286 KachelY + 1 8086 -0.21053886 1.16890063 -12.062988 66.973073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16897563-1.16890063) × R
    7.50000000000473e-05 × 6371000     		dl = 477.825000000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16897563-1.16890063) × R
    7.50000000000473e-05 × 6371000     		dr = 477.825000000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21073061--0.21053886) × cos(1.16897563) × R
    0.000191750000000018 × 0.391094668733404 × 6371000     		do = 477.77659779052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21073061--0.21053886) × cos(1.16890063) × R
    0.000191750000000018 × 0.391163693917513 × 6371000     		du = 477.860921664666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16897563)-sin(1.16890063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391094668733404-0.391163693917513)×R²
    abs(-0.21053886--0.21073061)×6.90251841094502e-05×R²
    0.000191750000000018×6.90251841094502e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.90251841094502e-05×40589641000000     		ar = 228313.748974279m²