Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15282 / 8541
↖ ↑ ↗
← N 64.937507°
W 12.106933°		 ← 517.47 m → N 64.937507°
W 12.095947°		 →
↑
517.58 m
↓
↑
517.58 m
↓
N 64.932853°
W 12.106933°		 ← 517.56 m →
267 854 m²		 N 64.932853°
W 12.095947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466384887695312 y=0.260665893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466384887695312 × 215)
    floor (0.466384887695312 × 32768)
    floor (15282.5)     		tx = 15282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260665893554688 × 215)
    floor (0.260665893554688 × 32768)
    floor (8541.5)     		ty = 8541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15282 / 8541 ti = "15/15282/8541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15282/8541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15282 ÷ 215
    15282 ÷ 32768     		x = 0.46636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8541 ÷ 215
    8541 ÷ 32768     		y = 0.260650634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21130585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260650634765625 × 2 - 1) × π
    0.47869873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5038764148804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21130585} λ = -0.21130585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5038764148804))-π/2
    2×atan(4.49909567234836)-π/2
    2×1.35208481617426-π/2
    2.70416963234852-1.57079632675     		φ = 1.13337331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21130585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.106933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13337331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.937507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15282 KachelY 8541 -0.21130585 1.13337331 -12.106933 64.937507
    Oben rechts KachelX + 1 15283 KachelY 8541 -0.21111411 1.13337331 -12.095947 64.937507
    Unten links KachelX 15282 KachelY + 1 8542 -0.21130585 1.13329207 -12.106933 64.932853
    Unten rechts KachelX + 1 15283 KachelY + 1 8542 -0.21111411 1.13329207 -12.095947 64.932853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13337331-1.13329207) × R
    8.12400000000935e-05 × 6371000     		dl = 517.580040000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13337331-1.13329207) × R
    8.12400000000935e-05 × 6371000     		dr = 517.580040000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21130585--0.21111411) × cos(1.13337331) × R
    0.000191739999999996 × 0.42360652350799 × 6371000     		do = 517.467367701784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21130585--0.21111411) × cos(1.13329207) × R
    0.000191739999999996 × 0.423680113063164 × 6371000     		du = 517.557262902385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13337331)-sin(1.13329207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42360652350799-0.423680113063164)×R²
    abs(-0.21111411--0.21130585)×7.3589555174558e-05×R²
    0.000191739999999996×7.3589555174558e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.3589555174558e-05×40589641000000     		ar = 267854.045002174m²