Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15281 / 8557
↖ ↑ ↗
← N 64.862941°
W 12.117920°		 ← 518.93 m → N 64.862941°
W 12.106933°		 →
↑
518.98 m
↓
↑
518.98 m
↓
N 64.858274°
W 12.117920°		 ← 519.02 m →
269 341 m²		 N 64.858274°
W 12.106933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466354370117188 y=0.261154174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466354370117188 × 215)
    floor (0.466354370117188 × 32768)
    floor (15281.5)     		tx = 15281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261154174804688 × 215)
    floor (0.261154174804688 × 32768)
    floor (8557.5)     		ty = 8557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15281 / 8557 ti = "15/15281/8557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15281/8557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15281 ÷ 215
    15281 ÷ 32768     		x = 0.466339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8557 ÷ 215
    8557 ÷ 32768     		y = 0.261138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.06732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21149760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261138916015625 × 2 - 1) × π
    0.47772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50080845330472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21149760} λ = -0.21149760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50080845330472))-π/2
    2×atan(4.48531377168116)-π/2
    2×1.35143410830988-π/2
    2.70286821661976-1.57079632675     		φ = 1.13207189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21149760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.117920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13207189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.862941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15281 KachelY 8557 -0.21149760 1.13207189 -12.117920 64.862941
    Oben rechts KachelX + 1 15282 KachelY 8557 -0.21130585 1.13207189 -12.106933 64.862941
    Unten links KachelX 15281 KachelY + 1 8558 -0.21149760 1.13199043 -12.117920 64.858274
    Unten rechts KachelX + 1 15282 KachelY + 1 8558 -0.21130585 1.13199043 -12.106933 64.858274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13207189-1.13199043) × R
    8.14599999998666e-05 × 6371000     		dl = 518.98165999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13207189-1.13199043) × R
    8.14599999998666e-05 × 6371000     		dr = 518.98165999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21149760--0.21130585) × cos(1.13207189) × R
    0.000191750000000018 × 0.424785050932793 × 6371000     		do = 518.934091032799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21149760--0.21130585) × cos(1.13199043) × R
    0.000191750000000018 × 0.424858794792101 × 6371000     		du = 519.024179425776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13207189)-sin(1.13199043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424785050932793-0.424858794792101)×R²
    abs(-0.21130585--0.21149760)×7.374385930764e-05×R²
    0.000191750000000018×7.374385930764e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.374385930764e-05×40589641000000     		ar = 269340.653255658m²