Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15281 / 10224
↖ ↑ ↗
← N 55.875311°
W 12.117920°		 ← 685.33 m → N 55.875311°
W 12.106933°		 →
↑
685.33 m
↓
↑
685.33 m
↓
N 55.869147°
W 12.117920°		 ← 685.44 m →
469 716 m²		 N 55.869147°
W 12.106933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466354370117188 y=0.312026977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466354370117188 × 215)
    floor (0.466354370117188 × 32768)
    floor (15281.5)     		tx = 15281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312026977539062 × 215)
    floor (0.312026977539062 × 32768)
    floor (10224.5)     		ty = 10224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15281 / 10224 ti = "15/15281/10224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15281/10224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15281 ÷ 215
    15281 ÷ 32768     		x = 0.466339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10224 ÷ 215
    10224 ÷ 32768     		y = 0.31201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.06732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21149760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31201171875 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21149760} λ = -0.21149760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18116520663818))-π/2
    2×atan(3.25816843141486)-π/2
    2×1.27300223571707-π/2
    2.54600447143413-1.57079632675     		φ = 0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21149760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.117920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15281 KachelY 10224 -0.21149760 0.97520814 -12.117920 55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 15282 KachelY 10224 -0.21130585 0.97520814 -12.106933 55.875311
    Unten links KachelX 15281 KachelY + 1 10225 -0.21149760 0.97510057 -12.117920 55.869147
    Unten rechts KachelX + 1 15282 KachelY + 1 10225 -0.21130585 0.97510057 -12.106933 55.869147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97520814-0.97510057) × R
    0.000107569999999946 × 6371000     		dl = 685.328469999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97520814-0.97510057) × R
    0.000107569999999946 × 6371000     		dr = 685.328469999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21149760--0.21130585) × cos(0.97520814) × R
    0.000191750000000018 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 685.334443804761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21149760--0.21130585) × cos(0.97510057) × R
    0.000191750000000018 × 0.561084808732671 × 6371000     		du = 685.443224926639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97520814)-sin(0.97510057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.561084808732671)×R²
    abs(-0.21130585--0.21149760)×8.9045208622518e-05×R²
    0.000191750000000018×8.9045208622518e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.9045208622518e-05×40589641000000     		ar = 469716.481663703m²