Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15281 / 10102
↖ ↑ ↗
← N 56.619976°
W 12.117920°		 ← 672.13 m → N 56.619976°
W 12.106933°		 →
↑
672.14 m
↓
↑
672.14 m
↓
N 56.613932°
W 12.117920°		 ← 672.24 m →
451 804 m²		 N 56.613932°
W 12.106933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466354370117188 y=0.308303833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466354370117188 × 215)
    floor (0.466354370117188 × 32768)
    floor (15281.5)     		tx = 15281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308303833007812 × 215)
    floor (0.308303833007812 × 32768)
    floor (10102.5)     		ty = 10102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15281 / 10102 ti = "15/15281/10102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15281/10102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15281 ÷ 215
    15281 ÷ 32768     		x = 0.466339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10102 ÷ 215
    10102 ÷ 32768     		y = 0.30828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.06732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21149760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30828857421875 × 2 - 1) × π
    0.3834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20455841365277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21149760} λ = -0.21149760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20455841365277))-π/2
    2×atan(3.33528593609818)-π/2
    2×1.27950066979966-π/2
    2.55900133959932-1.57079632675     		φ = 0.98820501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21149760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.117920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98820501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.619976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15281 KachelY 10102 -0.21149760 0.98820501 -12.117920 56.619976
    Oben rechts KachelX + 1 15282 KachelY 10102 -0.21130585 0.98820501 -12.106933 56.619976
    Unten links KachelX 15281 KachelY + 1 10103 -0.21149760 0.98809951 -12.117920 56.613932
    Unten rechts KachelX + 1 15282 KachelY + 1 10103 -0.21130585 0.98809951 -12.106933 56.613932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98820501-0.98809951) × R
    0.000105500000000092 × 6371000     		dl = 672.140500000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98820501-0.98809951) × R
    0.000105500000000092 × 6371000     		dr = 672.140500000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21149760--0.21130585) × cos(0.98820501) × R
    0.000191750000000018 × 0.550189634110927 × 6371000     		do = 672.133251973112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21149760--0.21130585) × cos(0.98809951) × R
    0.000191750000000018 × 0.550277727741405 × 6371000     		du = 672.240870609779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98820501)-sin(0.98809951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550189634110927-0.550277727741405)×R²
    abs(-0.21130585--0.21149760)×8.80936304780144e-05×R²
    0.000191750000000018×8.80936304780144e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.80936304780144e-05×40589641000000     		ar = 451804.147889567m²