Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15280 / 3388
↖ ↑ ↗
← N 71.992578°
E155.742188°		 ← 755.30 m → N 71.992578°
E155.764160°		 →
↑
755.41 m
↓
↑
755.41 m
↓
N 71.985784°
E155.742188°		 ← 755.57 m →
570 662 m²		 N 71.985784°
E155.764160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932647705078125 y=0.206817626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932647705078125 × 214)
    floor (0.932647705078125 × 16384)
    floor (15280.5)     		tx = 15280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206817626953125 × 214)
    floor (0.206817626953125 × 16384)
    floor (3388.5)     		ty = 3388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15280 / 3388 ti = "14/15280/3388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15280/3388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15280 ÷ 214
    15280 ÷ 16384     		x = 0.9326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3388 ÷ 214
    3388 ÷ 16384     		y = 0.206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    0.865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71821396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206787109375 × 2 - 1) × π
    0.58642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.842310926198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71821396} λ = 2.71821396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.842310926198))-π/2
    2×atan(6.31110592216257)-π/2
    2×1.4136519253832-π/2
    2.82730385076639-1.57079632675     		φ = 1.25650752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71821396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25650752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.992578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15280 KachelY 3388 2.71821396 1.25650752 155.742188 71.992578
    Oben rechts KachelX + 1 15281 KachelY 3388 2.71859745 1.25650752 155.764160 71.992578
    Unten links KachelX 15280 KachelY + 1 3389 2.71821396 1.25638895 155.742188 71.985784
    Unten rechts KachelX + 1 15281 KachelY + 1 3389 2.71859745 1.25638895 155.764160 71.985784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25650752-1.25638895) × R
    0.000118569999999929 × 6371000     		dl = 755.409469999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25650752-1.25638895) × R
    0.000118569999999929 × 6371000     		dr = 755.409469999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71821396-2.71859745) × cos(1.25650752) × R
    0.000383489999999931 × 0.309140193008558 × 6371000     		do = 755.295891741826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71821396-2.71859745) × cos(1.25638895) × R
    0.000383489999999931 × 0.30925295285899 × 6371000     		du = 755.571388276122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25650752)-sin(1.25638895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309140193008558-0.30925295285899)×R²
    abs(2.71859745-2.71821396)×0.000112759850432687×R²
    0.000383489999999931×0.000112759850432687×6371000²
    0.000383489999999931×0.000112759850432687×40589641000000     		ar = 570661.726287015m²