Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15280 / 10096
↖ ↑ ↗
← N 56.656226°
W 12.128906°		 ← 671.49 m → N 56.656226°
W 12.117920°		 →
↑
671.50 m
↓
↑
671.50 m
↓
N 56.650187°
W 12.128906°		 ← 671.60 m →
450 942 m²		 N 56.650187°
W 12.117920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466323852539062 y=0.308120727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466323852539062 × 215)
    floor (0.466323852539062 × 32768)
    floor (15280.5)     		tx = 15280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308120727539062 × 215)
    floor (0.308120727539062 × 32768)
    floor (10096.5)     		ty = 10096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15280 / 10096 ti = "15/15280/10096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15280/10096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15280 ÷ 215
    15280 ÷ 32768     		x = 0.46630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10096 ÷ 215
    10096 ÷ 32768     		y = 0.30810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46630859375 × 2 - 1) × π
    -0.0673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21168935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30810546875 × 2 - 1) × π
    0.3837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20570889924365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21168935} λ = -0.21168935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20570889924365))-π/2
    2×atan(3.33912534267661)-π/2
    2×1.2798170104216-π/2
    2.55963402084321-1.57079632675     		φ = 0.98883769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21168935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98883769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.656226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15280 KachelY 10096 -0.21168935 0.98883769 -12.128906 56.656226
    Oben rechts KachelX + 1 15281 KachelY 10096 -0.21149760 0.98883769 -12.117920 56.656226
    Unten links KachelX 15280 KachelY + 1 10097 -0.21168935 0.98873229 -12.128906 56.650187
    Unten rechts KachelX + 1 15281 KachelY + 1 10097 -0.21149760 0.98873229 -12.117920 56.650187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98883769-0.98873229) × R
    0.000105400000000033 × 6371000     		dl = 671.503400000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98883769-0.98873229) × R
    0.000105400000000033 × 6371000     		dr = 671.503400000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21168935--0.21149760) × cos(0.98883769) × R
    0.000191749999999991 × 0.549661211087751 × 6371000     		do = 671.487709667299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21168935--0.21149760) × cos(0.98873229) × R
    0.000191749999999991 × 0.549749257894481 × 6371000     		du = 671.595271102237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98883769)-sin(0.98873229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549661211087751-0.549749257894481)×R²
    abs(-0.21149760--0.21168935)×8.80468067291362e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80468067291362e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80468067291362e-05×40589641000000     		ar = 450942.394452563m²