Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15279 / 10331
↖ ↑ ↗
← N 55.210222°
W 12.139893°		 ← 697.03 m → N 55.210222°
W 12.128906°		 →
↑
697.11 m
↓
↑
697.11 m
↓
N 55.203953°
W 12.139893°		 ← 697.14 m →
485 946 m²		 N 55.203953°
W 12.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466293334960938 y=0.315292358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466293334960938 × 215)
    floor (0.466293334960938 × 32768)
    floor (15279.5)     		tx = 15279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315292358398438 × 215)
    floor (0.315292358398438 × 32768)
    floor (10331.5)     		ty = 10331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15279 / 10331 ti = "15/15279/10331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15279/10331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15279 ÷ 215
    15279 ÷ 32768     		x = 0.466278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10331 ÷ 215
    10331 ÷ 32768     		y = 0.315277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.06744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21188110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315277099609375 × 2 - 1) × π
    0.36944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1606482136008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21188110} λ = -0.21188110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1606482136008))-π/2
    2×atan(3.19200170457071)-π/2
    2×1.26719824235997-π/2
    2.53439648471994-1.57079632675     		φ = 0.96360016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21188110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.139893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96360016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.210222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15279 KachelY 10331 -0.21188110 0.96360016 -12.139893 55.210222
    Oben rechts KachelX + 1 15280 KachelY 10331 -0.21168935 0.96360016 -12.128906 55.210222
    Unten links KachelX 15279 KachelY + 1 10332 -0.21188110 0.96349074 -12.139893 55.203953
    Unten rechts KachelX + 1 15280 KachelY + 1 10332 -0.21168935 0.96349074 -12.128906 55.203953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96360016-0.96349074) × R
    0.000109420000000027 × 6371000     		dl = 697.11482000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96360016-0.96349074) × R
    0.000109420000000027 × 6371000     		dr = 697.11482000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21188110--0.21168935) × cos(0.96360016) × R
    0.000191749999999991 × 0.570567054990951 × 6371000     		do = 697.02710913382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21188110--0.21168935) × cos(0.96349074) × R
    0.000191749999999991 × 0.570656912861616 × 6371000     		du = 697.136883035546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96360016)-sin(0.96349074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570567054990951-0.570656912861616)×R²
    abs(-0.21168935--0.21188110)×8.98578706652886e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98578706652886e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98578706652886e-05×40589641000000     		ar = 485946.190711186m²