Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15278 / 14488
↖ ↑ ↗
← S 79.781164°
E155.698242°		 ← 433.45 m → S 79.781164°
E155.720215°		 →
↑
433.36 m
↓
↑
433.36 m
↓
S 79.785062°
E155.698242°		 ← 433.28 m →
187 801 m²		 S 79.785062°
E155.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932525634765625 y=0.884307861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932525634765625 × 214)
    floor (0.932525634765625 × 16384)
    floor (15278.5)     		tx = 15278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884307861328125 × 214)
    floor (0.884307861328125 × 16384)
    floor (14488.5)     		ty = 14488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15278 / 14488 ti = "14/15278/14488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15278/14488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15278 ÷ 214
    15278 ÷ 16384     		x = 0.9324951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14488 ÷ 214
    14488 ÷ 16384     		y = 0.88427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9324951171875 × 2 - 1) × π
    0.864990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71744697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88427734375 × 2 - 1) × π
    -0.7685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41448576006299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71744697} λ = 2.71744697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41448576006299))-π/2
    2×atan(0.0894133069947877)-π/2
    2×0.0891761647956013-π/2
    0.178352329591203-1.57079632675     		φ = -1.39244400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71744697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39244400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.781164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15278 KachelY 14488 2.71744697 -1.39244400 155.698242 -79.781164
    Oben rechts KachelX + 1 15279 KachelY 14488 2.71783046 -1.39244400 155.720215 -79.781164
    Unten links KachelX 15278 KachelY + 1 14489 2.71744697 -1.39251202 155.698242 -79.785062
    Unten rechts KachelX + 1 15279 KachelY + 1 14489 2.71783046 -1.39251202 155.720215 -79.785062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39244400--1.39251202) × R
    6.80200000000575e-05 × 6371000     		dl = 433.355420000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39244400--1.39251202) × R
    6.80200000000575e-05 × 6371000     		dr = 433.355420000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71744697-2.71783046) × cos(-1.39244400) × R
    0.000383489999999931 × 0.177408278251583 × 6371000     		do = 433.446529292624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71744697-2.71783046) × cos(-1.39251202) × R
    0.000383489999999931 × 0.177341336819399 × 6371000     		du = 433.282976995449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39244400)-sin(-1.39251202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177408278251583-0.177341336819399)×R²
    abs(2.71783046-2.71744697)×6.69414321838868e-05×R²
    0.000383489999999931×6.69414321838868e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.69414321838868e-05×40589641000000     		ar = 187800.964684093m²