Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15277 / 10099
↖ ↑ ↗
← N 56.638106°
W 12.161865°		 ← 671.81 m → N 56.638106°
W 12.150879°		 →
↑
671.89 m
↓
↑
671.89 m
↓
N 56.632063°
W 12.161865°		 ← 671.92 m →
451 416 m²		 N 56.632063°
W 12.150879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466232299804688 y=0.308212280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466232299804688 × 215)
    floor (0.466232299804688 × 32768)
    floor (15277.5)     		tx = 15277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308212280273438 × 215)
    floor (0.308212280273438 × 32768)
    floor (10099.5)     		ty = 10099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15277 / 10099 ti = "15/15277/10099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15277/10099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15277 ÷ 215
    15277 ÷ 32768     		x = 0.466217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10099 ÷ 215
    10099 ÷ 32768     		y = 0.308197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.06756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21226459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308197021484375 × 2 - 1) × π
    0.38360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20513365644821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21226459} λ = -0.21226459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20513365644821))-π/2
    2×atan(3.33720508723966)-π/2
    2×1.27965887810715-π/2
    2.5593177562143-1.57079632675     		φ = 0.98852143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21226459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.161865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98852143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.638106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15277 KachelY 10099 -0.21226459 0.98852143 -12.161865 56.638106
    Oben rechts KachelX + 1 15278 KachelY 10099 -0.21207284 0.98852143 -12.150879 56.638106
    Unten links KachelX 15277 KachelY + 1 10100 -0.21226459 0.98841597 -12.161865 56.632063
    Unten rechts KachelX + 1 15278 KachelY + 1 10100 -0.21207284 0.98841597 -12.150879 56.632063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98852143-0.98841597) × R
    0.000105460000000002 × 6371000     		dl = 671.885660000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98852143-0.98841597) × R
    0.000105460000000002 × 6371000     		dr = 671.885660000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21226459--0.21207284) × cos(0.98852143) × R
    0.000191749999999991 × 0.549925383298032 × 6371000     		do = 671.810432808137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21226459--0.21207284) × cos(0.98841597) × R
    0.000191749999999991 × 0.550013461885939 × 6371000     		du = 671.918033068209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98852143)-sin(0.98841597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549925383298032-0.550013461885939)×R²
    abs(-0.21207284--0.21226459)×8.8078587907825e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8078587907825e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8078587907825e-05×40589641000000     		ar = 451415.943996012m²