Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15276 / 8517
↖ ↑ ↗
← N 65.048968°
W 12.172852°		 ← 515.34 m → N 65.048968°
W 12.161865°		 →
↑
515.35 m
↓
↑
515.35 m
↓
N 65.044333°
W 12.172852°		 ← 515.43 m →
265 604 m²		 N 65.044333°
W 12.161865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466201782226562 y=0.259933471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466201782226562 × 215)
    floor (0.466201782226562 × 32768)
    floor (15276.5)     		tx = 15276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259933471679688 × 215)
    floor (0.259933471679688 × 32768)
    floor (8517.5)     		ty = 8517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15276 / 8517 ti = "15/15276/8517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15276/8517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15276 ÷ 215
    15276 ÷ 32768     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8517 ÷ 215
    8517 ÷ 32768     		y = 0.259918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259918212890625 × 2 - 1) × π
    0.48016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50847835724393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50847835724393))-π/2
    2×atan(4.51984796512402)-π/2
    2×1.35305749318634-π/2
    2.70611498637267-1.57079632675     		φ = 1.13531866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13531866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.048968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15276 KachelY 8517 -0.21245634 1.13531866 -12.172852 65.048968
    Oben rechts KachelX + 1 15277 KachelY 8517 -0.21226459 1.13531866 -12.161865 65.048968
    Unten links KachelX 15276 KachelY + 1 8518 -0.21245634 1.13523777 -12.172852 65.044333
    Unten rechts KachelX + 1 15277 KachelY + 1 8518 -0.21226459 1.13523777 -12.161865 65.044333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13531866-1.13523777) × R
    8.08900000000001e-05 × 6371000     		dl = 515.350190000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13531866-1.13523777) × R
    8.08900000000001e-05 × 6371000     		dr = 515.350190000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21226459) × cos(1.13531866) × R
    0.000191749999999991 × 0.421843534980997 × 6371000     		do = 515.340619691509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21226459) × cos(1.13523777) × R
    0.000191749999999991 × 0.421916874027517 × 6371000     		du = 515.430213549295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13531866)-sin(1.13523777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421843534980997-0.421916874027517)×R²
    abs(-0.21226459--0.21245634)×7.33390465199601e-05×R²
    0.000191749999999991×7.33390465199601e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.33390465199601e-05×40589641000000     		ar = 265603.972523149m²