Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15275 / 14494
↖ ↑ ↗
← S 79.804527°
E155.632324°		 ← 432.48 m → S 79.804527°
E155.654297°		 →
↑
432.40 m
↓
↑
432.40 m
↓
S 79.808415°
E155.632324°		 ← 432.31 m →
186 968 m²		 S 79.808415°
E155.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932342529296875 y=0.884674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932342529296875 × 214)
    floor (0.932342529296875 × 16384)
    floor (15275.5)     		tx = 15275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884674072265625 × 214)
    floor (0.884674072265625 × 16384)
    floor (14494.5)     		ty = 14494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15275 / 14494 ti = "14/15275/14494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15275/14494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15275 ÷ 214
    15275 ÷ 16384     		x = 0.93231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14494 ÷ 214
    14494 ÷ 16384     		y = 0.8846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93231201171875 × 2 - 1) × π
    0.8646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71629648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8846435546875 × 2 - 1) × π
    -0.769287109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41678673124475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71629648} λ = 2.71629648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41678673124475))-π/2
    2×atan(0.0892078060686492)-π/2
    2×0.0889722900516717-π/2
    0.177944580103343-1.57079632675     		φ = -1.39285175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71629648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.632324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39285175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.804527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15275 KachelY 14494 2.71629648 -1.39285175 155.632324 -79.804527
    Oben rechts KachelX + 1 15276 KachelY 14494 2.71667998 -1.39285175 155.654297 -79.804527
    Unten links KachelX 15275 KachelY + 1 14495 2.71629648 -1.39291962 155.632324 -79.808415
    Unten rechts KachelX + 1 15276 KachelY + 1 14495 2.71667998 -1.39291962 155.654297 -79.808415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39285175--1.39291962) × R
    6.78700000000809e-05 × 6371000     		dl = 432.399770000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39285175--1.39291962) × R
    6.78700000000809e-05 × 6371000     		dr = 432.399770000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71629648-2.71667998) × cos(-1.39285175) × R
    0.00038349999999987 × 0.177006981514605 × 6371000     		do = 432.477352284386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71629648-2.71667998) × cos(-1.39291962) × R
    0.00038349999999987 × 0.176940182801711 × 6371000     		du = 432.314144425345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39285175)-sin(-1.39291962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177006981514605-0.176940182801711)×R²
    abs(2.71667998-2.71629648)×6.67987128936676e-05×R²
    0.00038349999999987×6.67987128936676e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.67987128936676e-05×40589641000000     		ar = 186967.822210609m²