Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15274 / 10230
↖ ↑ ↗
← N 55.838314°
W 12.194824°		 ← 685.95 m → N 55.838314°
W 12.183838°		 →
↑
686.03 m
↓
↑
686.03 m
↓
N 55.832144°
W 12.194824°		 ← 686.06 m →
470 620 m²		 N 55.832144°
W 12.183838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466140747070312 y=0.312210083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466140747070312 × 215)
    floor (0.466140747070312 × 32768)
    floor (15274.5)     		tx = 15274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312210083007812 × 215)
    floor (0.312210083007812 × 32768)
    floor (10230.5)     		ty = 10230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15274 / 10230 ti = "15/15274/10230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15274/10230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15274 ÷ 215
    15274 ÷ 32768     		x = 0.46612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10230 ÷ 215
    10230 ÷ 32768     		y = 0.31219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.0677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21283983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31219482421875 × 2 - 1) × π
    0.3756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1800147210473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21283983} λ = -0.21283983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1800147210473))-π/2
    2×atan(3.25442211103888)-π/2
    2×1.27267937324881-π/2
    2.54535874649762-1.57079632675     		φ = 0.97456242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21283983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.194824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97456242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.838314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15274 KachelY 10230 -0.21283983 0.97456242 -12.194824 55.838314
    Oben rechts KachelX + 1 15275 KachelY 10230 -0.21264809 0.97456242 -12.183838 55.838314
    Unten links KachelX 15274 KachelY + 1 10231 -0.21283983 0.97445474 -12.194824 55.832144
    Unten rechts KachelX + 1 15275 KachelY + 1 10231 -0.21264809 0.97445474 -12.183838 55.832144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97456242-0.97445474) × R
    0.000107680000000054 × 6371000     		dl = 686.029280000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97456242-0.97445474) × R
    0.000107680000000054 × 6371000     		dr = 686.029280000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21283983--0.21264809) × cos(0.97456242) × R
    0.000191739999999996 × 0.561530185604829 × 6371000     		do = 685.951539706504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21283983--0.21264809) × cos(0.97445474) × R
    0.000191739999999996 × 0.561619282838515 × 6371000     		du = 686.060378707857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97456242)-sin(0.97445474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561530185604829-0.561619282838515)×R²
    abs(-0.21264809--0.21283983)×8.90972336862195e-05×R²
    0.000191739999999996×8.90972336862195e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.90972336862195e-05×40589641000000     		ar = 470620.174725132m²