Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15272 / 10246
↖ ↑ ↗
← N 55.739482°
W 12.216797°		 ← 687.73 m → N 55.739482°
W 12.205810°		 →
↑
687.81 m
↓
↑
687.81 m
↓
N 55.733296°
W 12.216797°		 ← 687.84 m →
473 067 m²		 N 55.733296°
W 12.205810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466079711914062 y=0.312698364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466079711914062 × 215)
    floor (0.466079711914062 × 32768)
    floor (15272.5)     		tx = 15272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312698364257812 × 215)
    floor (0.312698364257812 × 32768)
    floor (10246.5)     		ty = 10246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15272 / 10246 ti = "15/15272/10246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15272/10246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15272 ÷ 215
    15272 ÷ 32768     		x = 0.466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10246 ÷ 215
    10246 ÷ 32768     		y = 0.31268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.06787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21322333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31268310546875 × 2 - 1) × π
    0.3746337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17694675947162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21322333} λ = -0.21322333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17694675947162))-π/2
    2×atan(3.24445296934244)-π/2
    2×1.27181690288664-π/2
    2.54363380577328-1.57079632675     		φ = 0.97283748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21322333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.216797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97283748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.739482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15272 KachelY 10246 -0.21322333 0.97283748 -12.216797 55.739482
    Oben rechts KachelX + 1 15273 KachelY 10246 -0.21303158 0.97283748 -12.205810 55.739482
    Unten links KachelX 15272 KachelY + 1 10247 -0.21322333 0.97272952 -12.216797 55.733296
    Unten rechts KachelX + 1 15273 KachelY + 1 10247 -0.21303158 0.97272952 -12.205810 55.733296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97283748-0.97272952) × R
    0.000107960000000018 × 6371000     		dl = 687.813160000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97283748-0.97272952) × R
    0.000107960000000018 × 6371000     		dr = 687.813160000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21322333--0.21303158) × cos(0.97283748) × R
    0.000191749999999991 × 0.562956661892793 × 6371000     		do = 687.729954217181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21322333--0.21303158) × cos(0.97272952) × R
    0.000191749999999991 × 0.563045886085424 × 6371000     		du = 687.838953992949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97283748)-sin(0.97272952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562956661892793-0.563045886085424)×R²
    abs(-0.21303158--0.21322333)×8.92241926314652e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92241926314652e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92241926314652e-05×40589641000000     		ar = 473067.199236563m²