Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15271 / 10104
↖ ↑ ↗
← N 56.607885°
W 12.227783°		 ← 672.35 m → N 56.607885°
W 12.216797°		 →
↑
672.40 m
↓
↑
672.40 m
↓
N 56.601838°
W 12.227783°		 ← 672.46 m →
452 120 m²		 N 56.601838°
W 12.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466049194335938 y=0.308364868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466049194335938 × 215)
    floor (0.466049194335938 × 32768)
    floor (15271.5)     		tx = 15271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308364868164062 × 215)
    floor (0.308364868164062 × 32768)
    floor (10104.5)     		ty = 10104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15271 / 10104 ti = "15/15271/10104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15271/10104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15271 ÷ 215
    15271 ÷ 32768     		x = 0.466033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10104 ÷ 215
    10104 ÷ 32768     		y = 0.308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.06793212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21341508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308349609375 × 2 - 1) × π
    0.38330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20417491845581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21341508} λ = -0.21341508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20417491845581))-π/2
    2×atan(3.3340071151877)-π/2
    2×1.2793951553661-π/2
    2.55879031073221-1.57079632675     		φ = 0.98799398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21341508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.227783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98799398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.607885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15271 KachelY 10104 -0.21341508 0.98799398 -12.227783 56.607885
    Oben rechts KachelX + 1 15272 KachelY 10104 -0.21322333 0.98799398 -12.216797 56.607885
    Unten links KachelX 15271 KachelY + 1 10105 -0.21341508 0.98788844 -12.227783 56.601838
    Unten rechts KachelX + 1 15272 KachelY + 1 10105 -0.21322333 0.98788844 -12.216797 56.601838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98799398-0.98788844) × R
    0.000105540000000071 × 6371000     		dl = 672.39534000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98799398-0.98788844) × R
    0.000105540000000071 × 6371000     		dr = 672.39534000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21341508--0.21322333) × cos(0.98799398) × R
    0.000191750000000018 × 0.550365840294863 × 6371000     		do = 672.348512363501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21341508--0.21322333) × cos(0.98788844) × R
    0.000191750000000018 × 0.550453955067783 × 6371000     		du = 672.456156828604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98799398)-sin(0.98788844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550365840294863-0.550453955067783)×R²
    abs(-0.21322333--0.21341508)×8.81147729197007e-05×R²
    0.000191750000000018×8.81147729197007e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.81147729197007e-05×40589641000000     		ar = 452120.196807784m²