Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15270 / 8551
↖ ↑ ↗
← N 64.890928°
W 12.238769°		 ← 518.37 m → N 64.890928°
W 12.227783°		 →
↑
518.41 m
↓
↑
518.41 m
↓
N 64.886265°
W 12.238769°		 ← 518.46 m →
268 749 m²		 N 64.886265°
W 12.227783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466018676757812 y=0.260971069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466018676757812 × 215)
    floor (0.466018676757812 × 32768)
    floor (15270.5)     		tx = 15270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260971069335938 × 215)
    floor (0.260971069335938 × 32768)
    floor (8551.5)     		ty = 8551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15270 / 8551 ti = "15/15270/8551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15270/8551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15270 ÷ 215
    15270 ÷ 32768     		x = 0.46600341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8551 ÷ 215
    8551 ÷ 32768     		y = 0.260955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21360682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260955810546875 × 2 - 1) × π
    0.47808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5019589388956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21360682} λ = -0.21360682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5019589388956))-π/2
    2×atan(4.49047703010376)-π/2
    2×1.35167833563354-π/2
    2.70335667126708-1.57079632675     		φ = 1.13256034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21360682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13256034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.890928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15270 KachelY 8551 -0.21360682 1.13256034 -12.238769 64.890928
    Oben rechts KachelX + 1 15271 KachelY 8551 -0.21341508 1.13256034 -12.227783 64.890928
    Unten links KachelX 15270 KachelY + 1 8552 -0.21360682 1.13247897 -12.238769 64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 15271 KachelY + 1 8552 -0.21341508 1.13247897 -12.227783 64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13256034-1.13247897) × R
    8.13699999999695e-05 × 6371000     		dl = 518.408269999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13256034-1.13247897) × R
    8.13699999999695e-05 × 6371000     		dr = 518.408269999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21360682--0.21341508) × cos(1.13256034) × R
    0.000191739999999996 × 0.424342809305646 × 6371000     		do = 518.36679642265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21360682--0.21341508) × cos(1.13247897) × R
    0.000191739999999996 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 518.456801206636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13256034)-sin(1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424342809305646-0.424416488567418)×R²
    abs(-0.21341508--0.21360682)×7.36792617717086e-05×R²
    0.000191739999999996×7.36792617717086e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.36792617717086e-05×40589641000000     		ar = 268748.963919513m²