Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15270 / 10101
↖ ↑ ↗
← N 56.626021°
W 12.238769°		 ← 671.99 m → N 56.626021°
W 12.227783°		 →
↑
672.08 m
↓
↑
672.08 m
↓
N 56.619976°
W 12.238769°		 ← 672.10 m →
451 665 m²		 N 56.619976°
W 12.227783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466018676757812 y=0.308273315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466018676757812 × 215)
    floor (0.466018676757812 × 32768)
    floor (15270.5)     		tx = 15270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308273315429688 × 215)
    floor (0.308273315429688 × 32768)
    floor (10101.5)     		ty = 10101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15270 / 10101 ti = "15/15270/10101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15270/10101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15270 ÷ 215
    15270 ÷ 32768     		x = 0.46600341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10101 ÷ 215
    10101 ÷ 32768     		y = 0.308258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21360682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308258056640625 × 2 - 1) × π
    0.38348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20475016125125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21360682} λ = -0.21360682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20475016125125))-π/2
    2×atan(3.33592553048505)-π/2
    2×1.2795534143471-π/2
    2.55910682869421-1.57079632675     		φ = 0.98831050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21360682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98831050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.626021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15270 KachelY 10101 -0.21360682 0.98831050 -12.238769 56.626021
    Oben rechts KachelX + 1 15271 KachelY 10101 -0.21341508 0.98831050 -12.227783 56.626021
    Unten links KachelX 15270 KachelY + 1 10102 -0.21360682 0.98820501 -12.238769 56.619976
    Unten rechts KachelX + 1 15271 KachelY + 1 10102 -0.21341508 0.98820501 -12.227783 56.619976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98831050-0.98820501) × R
    0.00010548999999993 × 6371000     		dl = 672.076789999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98831050-0.98820501) × R
    0.00010548999999993 × 6371000     		dr = 672.076789999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21360682--0.21341508) × cos(0.98831050) × R
    0.000191739999999996 × 0.550101542707679 × 6371000     		do = 671.990589087951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21360682--0.21341508) × cos(0.98820501) × R
    0.000191739999999996 × 0.550189634110927 × 6371000     		du = 672.098199391444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98831050)-sin(0.98820501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550101542707679-0.550189634110927)×R²
    abs(-0.21341508--0.21360682)×8.80914032483915e-05×R²
    0.000191739999999996×8.80914032483915e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.80914032483915e-05×40589641000000     		ar = 451665.439636181m²