Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15267 / 14487
↖ ↑ ↗
← S 79.777265°
E155.456543°		 ← 433.61 m → S 79.777265°
E155.478515°		 →
↑
433.55 m
↓
↑
433.55 m
↓
S 79.781164°
E155.456543°		 ← 433.45 m →
187 955 m²		 S 79.781164°
E155.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931854248046875 y=0.884246826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931854248046875 × 214)
    floor (0.931854248046875 × 16384)
    floor (15267.5)     		tx = 15267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884246826171875 × 214)
    floor (0.884246826171875 × 16384)
    floor (14487.5)     		ty = 14487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15267 / 14487 ti = "14/15267/14487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15267/14487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15267 ÷ 214
    15267 ÷ 16384     		x = 0.93182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14487 ÷ 214
    14487 ÷ 16384     		y = 0.88421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93182373046875 × 2 - 1) × π
    0.8636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71322852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.7684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41410226486603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71322852} λ = 2.71322852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41410226486603))-π/2
    2×atan(0.0894476031443485)-π/2
    2×0.0892101888275421-π/2
    0.178420377655084-1.57079632675     		φ = -1.39237595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71322852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39237595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.777265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15267 KachelY 14487 2.71322852 -1.39237595 155.456543 -79.777265
    Oben rechts KachelX + 1 15268 KachelY 14487 2.71361201 -1.39237595 155.478515 -79.777265
    Unten links KachelX 15267 KachelY + 1 14488 2.71322852 -1.39244400 155.456543 -79.781164
    Unten rechts KachelX + 1 15268 KachelY + 1 14488 2.71361201 -1.39244400 155.478515 -79.781164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39237595--1.39244400) × R
    6.80500000000972e-05 × 6371000     		dl = 433.546550000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39237595--1.39244400) × R
    6.80500000000972e-05 × 6371000     		dr = 433.546550000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71322852-2.71361201) × cos(-1.39237595) × R
    0.000383489999999931 × 0.177475248386706 × 6371000     		do = 433.610151717246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71322852-2.71361201) × cos(-1.39244400) × R
    0.000383489999999931 × 0.177408278251583 × 6371000     		du = 433.446529292624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39237595)-sin(-1.39244400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177475248386706-0.177408278251583)×R²
    abs(2.71361201-2.71322852)×6.69701351234675e-05×R²
    0.000383489999999931×6.69701351234675e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.69701351234675e-05×40589641000000     		ar = 187954.716427054m²