Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15267 / 10148
↖ ↑ ↗
← N 56.340901°
W 12.271729°		 ← 677.09 m → N 56.340901°
W 12.260742°		 →
↑
677.17 m
↓
↑
677.17 m
↓
N 56.334811°
W 12.271729°		 ← 677.20 m →
458 547 m²		 N 56.334811°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465927124023438 y=0.309707641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465927124023438 × 215)
    floor (0.465927124023438 × 32768)
    floor (15267.5)     		tx = 15267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309707641601562 × 215)
    floor (0.309707641601562 × 32768)
    floor (10148.5)     		ty = 10148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15267 / 10148 ti = "15/15267/10148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15267/10148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15267 ÷ 215
    15267 ÷ 32768     		x = 0.465911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10148 ÷ 215
    10148 ÷ 32768     		y = 0.3096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.06817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21418207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3096923828125 × 2 - 1) × π
    0.380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19573802412268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21418207} λ = -0.21418207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19573802412268))-π/2
    2×atan(3.30599677573861)-π/2
    2×1.27706527816503-π/2
    2.55413055633007-1.57079632675     		φ = 0.98333423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21418207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.271729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98333423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.340901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15267 KachelY 10148 -0.21418207 0.98333423 -12.271729 56.340901
    Oben rechts KachelX + 1 15268 KachelY 10148 -0.21399032 0.98333423 -12.260742 56.340901
    Unten links KachelX 15267 KachelY + 1 10149 -0.21418207 0.98322794 -12.271729 56.334811
    Unten rechts KachelX + 1 15268 KachelY + 1 10149 -0.21399032 0.98322794 -12.260742 56.334811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98333423-0.98322794) × R
    0.000106289999999953 × 6371000     		dl = 677.173589999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98333423-0.98322794) × R
    0.000106289999999953 × 6371000     		dr = 677.173589999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21418207--0.21399032) × cos(0.98333423) × R
    0.000191749999999991 × 0.554250386417326 × 6371000     		do = 677.094026375039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21418207--0.21399032) × cos(0.98322794) × R
    0.000191749999999991 × 0.554338853766968 × 6371000     		du = 677.202101561705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98333423)-sin(0.98322794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554250386417326-0.554338853766968)×R²
    abs(-0.21399032--0.21418207)×8.8467349641741e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8467349641741e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8467349641741e-05×40589641000000     		ar = 458546.785871138m²