Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15266 / 8543
↖ ↑ ↗
← N 64.928198°
W 12.282715°		 ← 517.67 m → N 64.928198°
W 12.271729°		 →
↑
517.71 m
↓
↑
517.71 m
↓
N 64.923542°
W 12.282715°		 ← 517.76 m →
268 027 m²		 N 64.923542°
W 12.271729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465896606445312 y=0.260726928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465896606445312 × 215)
    floor (0.465896606445312 × 32768)
    floor (15266.5)     		tx = 15266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260726928710938 × 215)
    floor (0.260726928710938 × 32768)
    floor (8543.5)     		ty = 8543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15266 / 8543 ti = "15/15266/8543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15266/8543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15266 ÷ 215
    15266 ÷ 32768     		x = 0.46588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8543 ÷ 215
    8543 ÷ 32768     		y = 0.260711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21437382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260711669921875 × 2 - 1) × π
    0.47857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50349291968344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21437382} λ = -0.21437382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50349291968344))-π/2
    2×atan(4.49737062156284)-π/2
    2×1.35200357653025-π/2
    2.70400715306051-1.57079632675     		φ = 1.13321083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21437382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13321083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.928198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15266 KachelY 8543 -0.21437382 1.13321083 -12.282715 64.928198
    Oben rechts KachelX + 1 15267 KachelY 8543 -0.21418207 1.13321083 -12.271729 64.928198
    Unten links KachelX 15266 KachelY + 1 8544 -0.21437382 1.13312957 -12.282715 64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 15267 KachelY + 1 8544 -0.21418207 1.13312957 -12.271729 64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13321083-1.13312957) × R
    8.12599999999719e-05 × 6371000     		dl = 517.707459999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13321083-1.13312957) × R
    8.12599999999719e-05 × 6371000     		dr = 517.707459999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21437382--0.21418207) × cos(1.13321083) × R
    0.000191749999999991 × 0.423753699822077 × 6371000     		do = 517.674152035341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21437382--0.21418207) × cos(1.13312957) × R
    0.000191749999999991 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 517.764067221516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13321083)-sin(1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423753699822077-0.423827301899101)×R²
    abs(-0.21418207--0.21437382)×7.36020770246704e-05×R²
    0.000191749999999991×7.36020770246704e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.36020770246704e-05×40589641000000     		ar = 268027.045386388m²