Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15266 / 20763
↖ ↑ ↗
← S 43.285204°
W 12.282715°		 ← 889.29 m → S 43.285204°
W 12.271729°		 →
↑
889.20 m
↓
↑
889.20 m
↓
S 43.293200°
W 12.282715°		 ← 889.18 m →
790 707 m²		 S 43.293200°
W 12.271729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465896606445312 y=0.633651733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465896606445312 × 215)
    floor (0.465896606445312 × 32768)
    floor (15266.5)     		tx = 15266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633651733398438 × 215)
    floor (0.633651733398438 × 32768)
    floor (20763.5)     		ty = 20763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15266 / 20763 ti = "15/15266/20763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15266/20763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15266 ÷ 215
    15266 ÷ 32768     		x = 0.46588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20763 ÷ 215
    20763 ÷ 32768     		y = 0.633636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21437382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.26727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.839662733744904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21437382} λ = -0.21437382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839662733744904))-π/2
    2×atan(0.431856149376581)-π/2
    2×0.407663505534825-π/2
    0.815327011069651-1.57079632675     		φ = -0.75546932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21437382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75546932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.285204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15266 KachelY 20763 -0.21437382 -0.75546932 -12.282715 -43.285204
    Oben rechts KachelX + 1 15267 KachelY 20763 -0.21418207 -0.75546932 -12.271729 -43.285204
    Unten links KachelX 15266 KachelY + 1 20764 -0.21437382 -0.75560889 -12.282715 -43.293200
    Unten rechts KachelX + 1 15267 KachelY + 1 20764 -0.21418207 -0.75560889 -12.271729 -43.293200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75546932--0.75560889) × R
    0.000139569999999978 × 6371000     		dl = 889.200469999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75546932--0.75560889) × R
    0.000139569999999978 × 6371000     		dr = 889.200469999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21437382--0.21418207) × cos(-0.75546932) × R
    0.000191749999999991 × 0.727949843311517 × 6371000     		do = 889.292100620655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21437382--0.21418207) × cos(-0.75560889) × R
    0.000191749999999991 × 0.727854142788759 × 6371000     		du = 889.175189105809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75546932)-sin(-0.75560889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727949843311517-0.727854142788759)×R²
    abs(-0.21418207--0.21437382)×9.57005227570917e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57005227570917e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57005227570917e-05×40589641000000     		ar = 790706.976235217m²